淺水波問題和Stokes問題的數(shù)值方法.pdf

1、本論文由兩個(gè)部分組成。第一部分是關(guān)于兩類淺水波模型的數(shù)值方法：非線性淺水波方程和Green-Naghdi模型的中心間斷Galerkin法。非線性淺水波方程描述了非線性非色散波的傳播過程，而Green-Naghdi模型被使用來模擬非線性弱色散波的傳播。第二部分考慮了Stokes問題的多小波Galerkin邊界元法。Stokes問題通常被使用來模擬小雷諾數(shù)下的不可壓縮粘性流體的流動(dòng)。
　　數(shù)值上求解非線性淺水波方程通常遭遇兩個(gè)問題。一

2、是因?yàn)樵撃Ｐ褪且粋€(gè)平衡律，其有靜水穩(wěn)定解，對(duì)該穩(wěn)定解，方程的通量非零但被源項(xiàng)所平衡，但是通常的數(shù)值方法不能保持源項(xiàng)和通量的平衡，因此當(dāng)考慮與穩(wěn)定解相關(guān)的問題時(shí)可能產(chǎn)生數(shù)值震蕩。二是當(dāng)問題涉及到干區(qū)域或者幾乎干的區(qū)域時(shí)，在水波的運(yùn)動(dòng)過程中，數(shù)值方法可能產(chǎn)生負(fù)的水深。為了克服這些問題，我們分別提出了一個(gè)保持平衡的中心間斷Galerkin法和一個(gè)保正(保持水深非負(fù))的中心間斷Galerkin法來求解一維非線性淺水波方程，前者能夠保持源項(xiàng)和通量

3、的平衡，后者能夠維持水深的非負(fù)性。我們分別證明了這兩個(gè)方法的保持平衡性和保正性?；谶@兩個(gè)方法，我們又提出了一個(gè)保正且保持平衡的中心間斷Galerkin法，該方法能夠同時(shí)保持源項(xiàng)與通量的平衡和水深的非負(fù)性。這些方法也被推廣到二維的非線性淺水波方程。
　　與非線性淺水波方程一樣，Green-Naghdi模型也有靜水穩(wěn)定解，相應(yīng)的數(shù)值方法也需要保持該穩(wěn)定解，并且數(shù)值方法也需要保持水深的非負(fù)性。此外，Green-Naghdi模型的通量和

4、源項(xiàng)包含空間和時(shí)間的混合導(dǎo)數(shù)，這也是在設(shè)計(jì)數(shù)值方法時(shí)遇到的一個(gè)問題。為了設(shè)計(jì)好數(shù)值方法，我們首先將Green-Naghdi模型改寫為一個(gè)平衡律和一個(gè)橢圓型方程的耦合系統(tǒng)，該系統(tǒng)消除了通量和源項(xiàng)中的混合導(dǎo)數(shù)。因?yàn)槠教沟撞康腉reen-Naghdi模型不包含非零源項(xiàng)，因而不需要平衡源項(xiàng)和通量，因此我們提出了一個(gè)中心間斷Galerkin-有限元法來求解該模型。對(duì)非平坦底部的Green-Naghdi模型，我們提出了一個(gè)保持平衡的中心間斷Gale

5、rkin-有限元法。另外，當(dāng)問題涉及到干區(qū)域或者幾乎干的區(qū)域時(shí)，我們提出了一個(gè)保正且保持平衡的中心間斷Galerkin-有限元法。在這些方法中，我們將求解非線性淺水波方程的那些方法使用來求解耦合系統(tǒng)中的平衡律，而橢圓型方程則通過有限元方法來求解。
　　用邊界元法求解Stokes問題時(shí)可以同時(shí)把連續(xù)性方程或流體的不可壓縮條件包含在滿足Stokes方程的邊界積分方程中，且流體的速度和壓力可以分別計(jì)算，故邊界元方法一直受到廣泛的關(guān)注。然

6、而由于邊界積分方程的全局性，邊界元矩陣是稠密的，因此計(jì)算復(fù)雜度為()2O N(N是未知量的數(shù)目)。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，我們提出了一個(gè)多小波Galerkin邊界元法來求解二維的Stokes問題。這個(gè)方法聯(lián)合了Stokes方程的邊界積分方程和Alpert多小波，其中Alpert多小波被使用來構(gòu)造邊界積分方程的變分公式中的檢驗(yàn)函數(shù)和測(cè)試函數(shù)。由于多小波的使用，通過兩次矩陣壓縮，該方法能夠?qū)⑦吔缭仃嚨挠?jì)算復(fù)雜度從()2O N降低到()O N。為