曲線、曲面μ基的計算及其應(yīng)用.pdf

1、參數(shù)形式和隱式形式是表示曲線和曲面的兩種主要方式，它們在計算機輔助幾何設(shè)計，計算機圖形學(xué)以及機械、建筑乃至動畫等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。這兩種表示方式有各自的優(yōu)點和不足之處，在幾何造型領(lǐng)域中，人們通常會根據(jù)具體的問題選擇其中一個表示方式，因而曲線/曲面兩種不同表示形式之間的相互轉(zhuǎn)換成為人們所關(guān)心的問題，即參數(shù)表示隱式化和隱式表示參數(shù)化問題。在理論上已經(jīng)證明了任何參數(shù)表示的曲線/曲面都一定可以轉(zhuǎn)化為隱式表示。曲線/曲面隱式化的主要方法有

2、結(jié)式方法、Grobner基方法、吳方法、插值方法等。但這些方法在有效性、通用性、復(fù)雜度等方面都有各自的問題。近年來提出的一種嶄新的動曲線/曲面隱式化方法以及從它發(fā)展起來的μ基理論顯示出了相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性。從曲線/曲面的μ基出發(fā)，我們可以方便地得到原曲線/曲面的參數(shù)表示，也可以得到曲線/曲面的隱式表示，即μ基構(gòu)建了曲線/曲面的參數(shù)方程和隱式方程之間的聯(lián)接橋梁。 本文目的是在已有研究成果的基礎(chǔ)上，以迅速發(fā)展的計算代數(shù)幾何為研究工具，對動

3、曲線/曲面方法以及μ基理論展開研究工作，特別是致力于構(gòu)造計算μ基的快速通用的算法。 我們首先回顧了曲線/曲面設(shè)計的歷史和研究方向，重點介紹了曲線/曲面參數(shù)化和隱式化的一些工作。在隱式化方法中我們介紹了動曲線/曲面方法和μ基方法并系統(tǒng)地給出μ基的定義和性質(zhì)。平面曲線和直紋面μ基理論相對完善，也有相應(yīng)的算法。 在第三章中，我們根據(jù)多項式矩陣分解的理論給出了曲線/曲面μ基存在性的一個構(gòu)造性證明，并首次設(shè)計了適合一般曲線/曲面的

4、μ基算法。新算法的本質(zhì)是計算曲線/曲面的Syzygy模的基，因而不僅可以計算動直線/動平面模的基，也可以計算動曲線/動曲面模的基。該算法不但能夠計算一般曲面的μ基，在計算曲線的μ基時也比已有的算法效率更高。 在第四章中我們研究了空間參數(shù)曲線的μ基及其性質(zhì)。根據(jù)多項式矩陣分解方法，我們給出了三維空間參數(shù)曲線的動平面?；耐ㄓ帽硎拘问?，進而得到曲線的μ基?？臻g曲線的隱式化要比平面曲線隱式化復(fù)雜得多，也更有應(yīng)用價值。針對一類三維空間曲

5、線，我們得到了簡潔的隱式化方法。進一步我們還設(shè)計了一些特別的算例，這些算例將有助于一般隱式化方法的設(shè)計。 雖然我們設(shè)計了一般曲線/曲面的μ基算法，但是算法中涉及多項式矩陣的運算，因而有時計算效率不高。在用μ基方法進行曲面隱式化時，目前的算法還需要計算Grobner基，導(dǎo)致計算復(fù)雜度過高。本文第五章從低次曲面開始，深入分析了具有兩個基點的二次曲面和具有六個基點的非奇異三次曲面的μ基形式。我們得到了這兩種曲面的μ基的一些良好性質(zhì)，并

6、且設(shè)計了更為直接且快速有效的μ基算法。利用μ基可以直接表示出這兩種曲面的隱式化方程。進一步，我們從隱式曲面出發(fā)構(gòu)造了曲面的μ基，由此得到了隱式曲面參數(shù)化表示。實現(xiàn)了從參數(shù)曲面到μ基再到隱式曲面的雙向轉(zhuǎn)化。 有理曲線/曲面的降階問題是近二十年來人們關(guān)注的另一個熱點問題，目前的降階方法主要集中在插值或一致逼近下Bézier曲線/曲面的降階。本文最后一章利用近似μ基實現(xiàn)了曲線/曲面的降階，主要是通過優(yōu)化方法得到曲線/曲面的近似μ基，然