曲線曲面的幾何演化及應(yīng)用

1、第3章 曲線曲面的幾何演化及應(yīng)用,3.1 曲線演化問題,3.1.1 曲線演化的一般方程式,封閉曲線 演化的方程,局部曲線,切矢量,單位切矢量法矢量,曲線C演化的一般方程式,曲線S演化的一般方程式,3.1.2 演化方程的標注質(zhì)點法,,,,,,,,3.2 水平集方法,3.2.1 基本概念,平面封閉曲線C為嵌入函數(shù)u(x,y) 的水平（線）集,,曲線C演化的水平集方程式,N的方向與曲線梯度方向相

2、反，則有,,(x,y)在閉曲線C外部,(x,y)在閉曲線C內(nèi)部,(x,y)在閉曲線C上,Hamilton-Jacobi型，迎風方案,一般c=0，零水平集,3.2.2 嵌入函數(shù)的選用和初始化,(x,y)在閉曲線C外部,(x,y)在閉曲線C內(nèi)部,初始曲線是心在(x0,y0)，半徑為R的圓，嵌入函數(shù)為,帶符號的距離函數(shù),3.2.3 速度場的延拓,曲線C演化的水平集方程式,,交替運行兩層系統(tǒng)延拓法,1）解初值問題：,2）解方程：,,演化中能

3、保持帶符號的距離函數(shù)但效率低,3.2.4 自然延拓與重新開始,曲線的運動對嵌入函數(shù)的所有水平集都成立,平均曲率運動(MCM)方程,對應(yīng)的水平集方程,重新初始化方程,k為所有水平集的曲率,自然延拓不能保證u在演化過程中保持為帶符號的距離函數(shù)，某些局部 可能遠大于1出現(xiàn)尖峰或深谷，也可能遠小于1出現(xiàn)平坦區(qū)，導(dǎo)致迭代不穩(wěn)定，需重新初始化。,水平集方法的優(yōu)點：1）水平集方法的PDE是直接在固定坐標系(x,y)中給出的，是一種無參數(shù)的

4、方法；2）數(shù)值實現(xiàn)時可以采用迎風方案得到粘滯解；3）曲線演化過程中可能產(chǎn)生拓撲變化，可以自動嵌入到u(x,y,t)的變化中，沒有跟蹤拓撲變化和修改實現(xiàn)方案的必要。水平集方法的缺點：計算復(fù)雜度大 O(N2),3.4 變分水平集方法,3.4.1 基本概念,測地線活動輪廓模型的能量泛函,,泛函的梯度下降流,嵌入函數(shù)的PDE,Hamilton-Jacobi型，迎風方案,雙曲型,Heaviside函數(shù),,,,,,,雙曲型,拋物型,穩(wěn)定

5、性高，用較大時間步長，常無需對嵌入函數(shù)初始化。,,泛函的梯度下降流,,嵌入函數(shù)方程,,,嵌入函數(shù)方程,泛函的梯度下降流,水平集方法,變分水平集方法,水平集方法適用面更廣,3.4.2 改進的變分水平集方法,非線性熱方程，傳導(dǎo)率 。當“熱量”正向傳輸，使 減??；反之當 “熱量”反向傳輸，使 增大。保持,改進的變分水平集方法完全避免了對嵌入函數(shù)初始化，簡化了嵌入函

6、數(shù)初始化。,(x,y)在閉曲線C外部,(x,y)在閉曲線C內(nèi)部,(x,y)在閉曲線C上,3.5 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)圖像處理,3.5.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本概念,數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(Mathematical Morphology)誕生于1964年。塞拉(Serra J)和她的導(dǎo)師馬瑟榮(Matheron G)的工作奠定了這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)。從某種意義上講，形態(tài)學(xué)圖像處理是以幾何學(xué)為基礎(chǔ)的，它著重研究圖像的幾何結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)表示的可以是分析對象的宏觀性質(zhì)

7、，也可以是微觀性質(zhì)。,結(jié)構(gòu)元素是用來處理圖像的集合，相當于一個刷子，對圖像刷過。通常都比較小，其形狀和大小任意，常用的有圓形、正方形和菱形等。圖像處理的效果和結(jié)構(gòu)元素密切相關(guān)。,二值形態(tài)學(xué)以集合為運算對象。在進行形態(tài)學(xué)運算中，對每個結(jié)構(gòu)元素可以指定原點，作為結(jié)構(gòu)元素參與形態(tài)學(xué)運算的參考點。應(yīng)當指出，結(jié)構(gòu)元素實際上也是一個圖像集合，指定的原點可以在結(jié)構(gòu)元素區(qū)域內(nèi)，也可以不包含在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)，但運算的結(jié)果會有差異。,膨脹,,膨脹的結(jié)果是將目

8、標周圍的點加入到目標區(qū)域，從而使得原區(qū)域面積增大。結(jié)構(gòu)元素的選取決定了膨脹的結(jié)果。在圖像分割中，經(jīng)常出現(xiàn)空洞現(xiàn)象，常用膨脹運算來修補。,,,,,,,腐蝕,腐蝕運算常用來消除圖像中的邊界點。在圖像中，相對結(jié)構(gòu)元素小的物體，腐蝕的結(jié)果是除去了這個物體。腐蝕可以去除一些無意義的物體。如果兩個物體有細小的連通，為了將其分開，可對其進行腐蝕操作。,,,,開運算與閉運算,開運算特點：(1) 開運算能夠消除細的突出物，斷開小的間斷；(2) 開運算

9、能夠平滑對象物的輪廓；(3) 選取的結(jié)構(gòu)元素不同，濾波效果也不同；(4) 選擇不同的結(jié)構(gòu)元素，可以提取不同的特征。,閉運算特點：(1) 閉運算能夠消彌小的間斷和斷裂開細的鴻溝，去掉圖像中小的空洞，并修補斷裂的輪廓線；(2) 閉運算能夠填充圖像的凹角，從而達到對圖像濾波的效果；(3) 選取的結(jié)構(gòu)元素不同，濾波效果也不同；(4) 選擇不同的結(jié)構(gòu)元素，可以提取不同的特征。,,3.5.5 灰度圖像的形態(tài)學(xué),灰度形態(tài)學(xué)是對二值形態(tài)學(xué)

10、的推廣，所不同的是，這里運算的操作對象不再看作集合，而是看作圖像的函數(shù)。以下用,表示輸入圖像，用,表示結(jié)構(gòu)元素。,灰度膨脹,,,灰度膨脹可以通過平移結(jié)構(gòu)元素，使得其原點與信號重合，然后對信號上的每一點求結(jié)構(gòu)元素鄰域的最大值。,,,,灰度腐蝕,開運算與閉運算,,,,,在實際應(yīng)用中，對于小于結(jié)構(gòu)元素的亮細節(jié)，開運算能夠?qū)⑵淙コ?，而對圖像的整體灰度和大的亮區(qū)域不產(chǎn)生大的干擾；而對于圖像中小于結(jié)構(gòu)元素的暗細節(jié)，常用閉運算來去除，而對圖像的整體灰