第二型曲線曲面積分的計算方法

1、第二型曲線曲面積分的計算方法PB07210153劉羽第二型曲線曲面積分與第一型曲線曲面積分相比有明顯不同的幾何意義和物理意義，第一型曲線曲面積分分別可以看成是定積分與二重積分的更一般情況，其意義較易理解，計算也相對比較簡單。而第二型曲線曲面積分又稱為對坐標(biāo)的積分，具有第一型不具有的方向性，計算較為復(fù)雜，物理意義十分明顯，分別是變力沿曲線做功和向量場過曲面的通量，這在物理學(xué)上有重要的應(yīng)用，與格林定理，斯托克斯定理，高斯定理緊密相關(guān)，是微積

2、分中的重點和難點，以下簡單介紹第二型曲線曲面積分的常用計算方法。1第二型曲線積分計算方法向量場，是曲線L上指向指定方向的單位切向量，F(xiàn)PiQjRk??????????則稱形式積分為第二型曲線積分，右端是LLPdxQdyRdzFdl?????????AF????A在L上第一型曲線積分。這里要理解的方向性，是有向曲線微??dxidl????A元在Ox軸方向投影，可正可負（與定積分不同），這正是第二型曲dl??dx線積分具有方向性的原因。計算

3、第二型曲線積分的方法主要有定義法，參數(shù)法，利用性質(zhì)以及利用Green公式和Stokes公式。（1）定義法當(dāng)已知或易于表達時，可考慮用定義法，一般用得較少。（2）參數(shù)法參數(shù)法是計算第二型曲線積分最常用的方法，將其轉(zhuǎn)化為定積分，應(yīng)用時要特別注意上下限的確定（根據(jù)所給的方向而不是大?。?。設(shè)有向曲線L的參數(shù)方程為x=x(t)y=y(t)z=z(t)其起點對應(yīng)t=a，終點對應(yīng)t=b，則LPdxQdyRdz????[(()()())()(()()(

4、))()(()()())()]baPxtytztxtQxtytztytPxtytztztdt???計算時只要將所有量（包括微分量）用參數(shù)變量表示出來即可，不需記憶此式。例1求曲線積分，其中L是與Lydxzdyxdz???2xy??的交線，從原點看去是逆時針方向。2222()xyzxy????解：在曲線L滿足的方程組中消去y并化簡得，可知L在Ozx222(1)2xz???平面上的投影曲線是橢圓，注意到坐標(biāo)原點在平面的222(1)2xz??

5、?2xy??（1）定義法當(dāng)單位法向量容易求得，易于表達時可考慮用定義法。（2）參數(shù)法常用球面參數(shù)和柱面參數(shù)：球面參數(shù)：，可推廣到橢球sincossinsincosxRyRzR????????面。柱面參數(shù)；cossinxayazz?????其他參數(shù)由于計算復(fù)雜使用不多。（3）單一坐標(biāo)平面投影法（參數(shù)法特例）設(shè)以O(shè)xy平面為投影面SPdydzQdzdxRdxdy????()xyDzPzQRdxdy???????以O(shè)yzOzx平面為投影面情況

6、類似。（4）分項投影法分項投影法是利用第二型曲面積分的線性性：SPdydzQdzdxRdxdy?????SSSPdydzQdzdxRdxdy????????分別將右式三項投影到OyzOzxOxy平面上，由于，，1SDPdydzPdydz?????1SDPdydzPdydz?????1SDPdydzPdydz?????分別投影直接計算二重積分，避免投影到一面上求偏導(dǎo)的計算，此法非常實用，看似復(fù)雜，實則簡單，非常實用。計算中要注意原曲面與投

7、影曲面一一對應(yīng)，若不一一對應(yīng)要分片投影，如一個完整的球投影到Oxy平面上，上下半球曲面要分別投影計算。計算中注意利用方向性等性質(zhì)以簡化計算。例2計算，其中S是橢球面，外側(cè)。2Sydzdxzdxdy???222144xyz???此題可利用參數(shù)法，單一坐標(biāo)平面投影法，分項投影法等多種方法計算，難度不大，答案是。163?（5）利用高斯公式Gauss公式：()SVPQRPdydzQdzdxRdxdydxdydzxyx??????????????