函數(shù)變換法求經(jīng)典Fisher方程的顯示解.pdf

1、本文主要在孤立子理論及李群變換的指導(dǎo)下，運用當(dāng)前求解非線性發(fā)展偏微分方程(組)的普遍方法——函數(shù)變換法的一些具體方法，配合計算軟件Mathematica的運算功能，求得了經(jīng)典Fisher方程的一些新的顯示解。 文章共分三章。第一章是顯示解研究的背景和方向介紹，包括孤立子理論、李群變換、計算機的輔助作用、顯示解的類型和研究方法分類。第二章著重介紹作者研究所用到的一些函數(shù)變換法如齊次平衡法、推廣的tanh函數(shù)法、復(fù)tanh函數(shù)展開法

2、、廣義冪-指函數(shù)法等，和Fisher類方程已有的一些研究成果特別是顯示解的一些結(jié)果。第三章對非線性發(fā)展偏微分方程里經(jīng)典Fisher方程的一個最常見形式(e)u/(e)t-γ(e)2u/(e)x2-βu(1-u)=0，(0-1)分別用函數(shù)變換法里推廣的tanh函數(shù)法及其拓展、復(fù)tanh函數(shù)展開法、廣義冪-指函數(shù)法結(jié)合現(xiàn)代數(shù)學(xué)計算軟件Mathematica得到了所期望的它的一些顯示解。 在第三章里，首先我們tanh函數(shù)法的原則下，選

3、用Riccati方程的簡單形式v'=b+v2，(0-2)進行“擾動”，推廣了以前的tanh函數(shù)法，也獲得了方程(0-1)的形式復(fù)雜的tanh函數(shù)顯示解。接著我們再次調(diào)整擾動的Riccati方程為vξ=k(1-v2)，(0-3)同時讓方程(0-1)的形式解為更復(fù)雜的u=a0+a1v+b0(d(1-v2))1/2+b1v(d(1-v2))1/2.(0-4) 從而再一次拓展了前面的推廣的tanh函數(shù)法，獲得了復(fù)線性顯示解。運用最近提出

4、的復(fù)tanh函數(shù)展開法，我們還獲得了方程(0-1)的復(fù)tanh函數(shù)形式的顯示解；受其啟發(fā)我們令方程(0-1)解分別為為實tanh函數(shù)形式、復(fù)tan函數(shù)形式、實tan函數(shù)形式u2=A+Btanh(η)，(0-5)u3=A+Btan(iη)，(0-6)u4=A+Btan(η)，(0-7)不僅獲得了對稱形式的顯示解，還推廣了復(fù)tanh函數(shù)展開法。最后我們采用廣義冪-指函數(shù)法尋找到了方程(0-1)更為一般的冪-指函數(shù)形式u=B+∑3i=oaiy