二元樣條函數(shù)方法求偏微分方程數(shù)值解.pdf

1、樣條函數(shù)是一種很好的數(shù)值逼近工具，它是逼近理論和計(jì)算機(jī)結(jié)合的優(yōu)秀產(chǎn)物.在計(jì)算機(jī)高速發(fā)展的推動(dòng)下，樣條函數(shù)以其便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、計(jì)算穩(wěn)定、局部支集以及便于交互控制等優(yōu)點(diǎn)，成為各類工程計(jì)算、計(jì)算機(jī)輔助制造/設(shè)計(jì)和幾何建模等大型軟件的重要數(shù)學(xué)工具之一。值得一提的是：除了在幾何建模方面樣條函數(shù)有著無可替代的地位之外，樣條有限元在有限元大家族中也占有重要的地位，它不僅能用較少的自由度得到比其他類型有限元更高的精度之外，還能與幾何建模軟件之間方便地共

2、享數(shù)據(jù)，因?yàn)樗鼈兌际遣捎孟嗤母袷絹泶鎯?chǔ)數(shù)據(jù)的.另外樣條函數(shù)結(jié)合配置法求解流體問題也受到比較多的關(guān)注. 本論文主要討論的是多元樣條函數(shù)方法及其在偏微分方程數(shù)值解中的應(yīng)用，事實(shí)上也可以認(rèn)為是一種特殊形式的樣條有限元.Brezzi和Fortin曾給出了有限元方法的一個(gè)廣義角度的定義：“有限元方法是一種通用的技巧，它的含義是在Hilbert空間中構(gòu)造一個(gè)有限維子空間，從而在這個(gè)子空間中對(duì)變分問題實(shí)施Ritz-Galerkin方法”.從

3、計(jì)算的角度來講，這個(gè)定義并不是非常的直觀和確切(有限元方法的特點(diǎn)是使用了基于網(wǎng)格的具有局部支集基函數(shù)的有限維子空間)，但是它從一個(gè)非常抽象的角度概括了類型廣泛的有限元逼近方法。在這些方法中，我們現(xiàn)在主要關(guān)心的是標(biāo)準(zhǔn)有限元方法和本文所要介紹的樣條函數(shù)方法.我們通常所說的有限元方法指的是標(biāo)準(zhǔn)的有限元計(jì)算方法，即通過在離散單元上構(gòu)造一個(gè)”有限元”參考對(duì)象的途徑來構(gòu)造有限元空間的辦法，這是狹義的有限元概念，相應(yīng)地我們稱前者為廣義的有限元概念.本

4、文所要介紹的多元樣條函數(shù)方法也屬于廣義有限元概念的范疇，是由學(xué)者來明俊等首先提出來的.它與有限元方法的主要區(qū)別在于采用了多元樣條分析方法來構(gòu)造所需要的有限維子空間，接著通過求解帶線性約束的方程組來完成樣條函數(shù)解的構(gòu)造.在此過程中有限維子空間并沒有被顯式地構(gòu)造出來，這樣的做法在這個(gè)子空間不是那么容易構(gòu)造的時(shí)候是方便的，我們將在本文中看到這些現(xiàn)象. 和樣條有限元一樣，樣條函數(shù)方法可以沿用有限元數(shù)值分析的許多結(jié)論，前提條件是所使用的樣

5、條函數(shù)空間必須是存在并且可表示的.這一前提在多元樣條分析的工作中現(xiàn)在已經(jīng)可以找到很好的理論保證(參考[63]以及其中引用的文獻(xiàn)).因此，這篇論文中對(duì)于樣條函數(shù)方法的討論均是從實(shí)際計(jì)算的角度出發(fā)的.值得一提的是，如果樣條函數(shù)方法所采用的樣條函數(shù)空間和有限元方法所采用的有限元空間是同一個(gè)函數(shù)空間，那么得到的近似解也是相同的.因此樣條函數(shù)方法似乎沒有很明顯的優(yōu)勢(shì).然而通過非協(xié)調(diào)元在很多問題中的成功應(yīng)用我們可以看到一些線索：非協(xié)調(diào)元(包括間斷有

6、限元)總是通過改造經(jīng)典變分原理的手段來滿足近似問題與原變分問題的相容性，它的優(yōu)勢(shì)是放松了單元邊界之間的協(xié)調(diào)約束(連續(xù)或光滑)條件，使得有限元空間盡可能好地逼近真實(shí)解空間，通過這種方式得到的近似解顯然能更充分地表現(xiàn)真實(shí)解的性質(zhì).這就是很多時(shí)候非協(xié)調(diào)有限元比協(xié)調(diào)有限元應(yīng)用更廣泛的主要原因.樣條函數(shù)方法可以看成是一種協(xié)調(diào)問題的非協(xié)調(diào)處理辦法，因?yàn)樗褑卧吔缟系膮f(xié)調(diào)條件單獨(dú)提出來了.這完全是一個(gè)代數(shù)的問題，因此也和有限元方法一樣具有通用性，但

7、從形式上看又象是一種非協(xié)調(diào)有限元. 論文共分五章.第一章首先介紹了一些本文所涉及到的一些有限元基本理論以及有限元方法處理問題的基本步驟，由于樣條函數(shù)方法也是包括在廣義有限元范疇中的，因此變分原理以及有限元方法成為了我們討論樣條函數(shù)方法的起點(diǎn)，其中有非常豐富的理論結(jié)果和計(jì)算技巧是可以從有限元方法借鑒的.接著，我們簡(jiǎn)要地介紹了二十多年來關(guān)于二元樣條分析的一些主要理論結(jié)果.主要從二元樣條函數(shù)空間存在性、Sobolev空間中的樣條函數(shù)逼

8、近程度和多元樣條函數(shù)空間表示的實(shí)際技巧等方面做了必要的介紹，這些都為后面的章節(jié)做準(zhǔn)備工作.需要指出的是關(guān)于二元樣條分析的文獻(xiàn)是非常豐富的，我們這里所提到的一些結(jié)論完全是為了方便討論樣條函數(shù)方法而從中提取出來的. 第二章介紹了三角形上的二元B-形式及其一些常用的局部計(jì)算方法，比如de Casteljau求值算法，升次、求導(dǎo)、求積以及求內(nèi)積算法等.這些算法是樣條函數(shù)方法中計(jì)算單元方程常用的.其中有不少可以加速橢圓邊值問題以及高次方程

9、的離散過程.進(jìn)一步我們利用B-形式的光滑性條件，將B-形式與樣條函數(shù)之間建立了轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到了多元樣條函數(shù)的B-形式表示方法.接著，我們利用二階和四階橢圓邊值問題作為實(shí)例展示了樣條函數(shù)方法的實(shí)施過程.最終最終將它們的變分形式離散成一個(gè)鞍點(diǎn)問題。這個(gè)問題的求解已經(jīng)有比較通用的迭代方法.另外我們也介紹了處理實(shí)際問題的一些細(xì)節(jié)，例如利用B-形式處理單元邊界協(xié)調(diào)條件和包含導(dǎo)數(shù)的dirichlet邊界條件的.最后我們給出具體的數(shù)值例子說明樣條函數(shù)

10、方法對(duì)于橢圓邊值問題是有效的. 正如前面所說，如果拿樣條函數(shù)方法得到的近似解和相應(yīng)的有限元方法得到的近似解比較，除了離散過程更加自由之外，并沒有更好的數(shù)值表現(xiàn).然而我們對(duì)樣條函數(shù)方法感興趣的正是它實(shí)現(xiàn)方式的靈活性.在第三章中，我們就要開始來深入這個(gè)話題.有限元的自適應(yīng)方法是目前數(shù)值分析和數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域中一個(gè)熱門問題，如何實(shí)現(xiàn)高效的自適應(yīng)方法是大家一直關(guān)心的問題之一.利用樣條函數(shù)方法可以避免事先構(gòu)造有限元空間的工作，把協(xié)調(diào)工作都留給

11、了單元邊界上的光滑條件，這個(gè)做法非常有利于自適應(yīng)方法的實(shí)現(xiàn).這一章的主要目的是討論如何利用樣條函數(shù)方法做p自適應(yīng)處理.首先通過拓展樣條函數(shù)的邊界光滑條件實(shí)現(xiàn)了樣條函數(shù)的p協(xié)調(diào)條件(也就是不同次數(shù)相鄰單元之間的連續(xù)/光滑連接條件)，接著針對(duì)橢圓邊值問題進(jìn)行了h自適應(yīng)和p/hp半自動(dòng)自適應(yīng)的求解.在四階問題中的應(yīng)用體現(xiàn)了樣條函數(shù)方法處理自適應(yīng)的強(qiáng)大能力，眾所周知，C<'1>有限元要實(shí)現(xiàn)p自適應(yīng)是比較困難的. 第四章繼續(xù)討論樣條函數(shù)方

12、法的自適應(yīng)處理方法，不過這里是從h自適應(yīng)出發(fā)來討論的.一般的h自適應(yīng)處理是簡(jiǎn)單的，注意到有限元的h自適應(yīng)方法中若允許非規(guī)則(帶懸點(diǎn))網(wǎng)格可以減少計(jì)算開銷這一特點(diǎn)，這一章中重點(diǎn)討論非規(guī)則網(wǎng)格上的樣條函數(shù)方法實(shí)現(xiàn).和多元樣條分析一樣，樣條函數(shù)方法的需要關(guān)心的主要問題是如何保持單元邊界之間的協(xié)調(diào)條件.于是首先研究了在具有任意層懸點(diǎn)的單元邊界上樣條函數(shù)空間的協(xié)調(diào)條件，從而解決了非協(xié)調(diào)網(wǎng)格上實(shí)施樣條函數(shù)方法的本質(zhì)困難.不難發(fā)現(xiàn)相同情況下的有限元方

13、法的處理則顯得更為復(fù)雜，其中主要是相應(yīng)的有限元比較難構(gòu)造，而用樣條函數(shù)方法很好地避免了這個(gè)困難.在這一章中我們并沒有直接求解鞍點(diǎn)問題來得到近似解，而是采取了消去約束的方法，最終得到一個(gè)對(duì)稱正定的系統(tǒng).這樣我們事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)造了一個(gè)有限元，因?yàn)檫@個(gè)線性系統(tǒng)是和利用某個(gè)有限元得到的系統(tǒng)是一樣的(這里用”某個(gè)”表示并不能顯式地構(gòu)造出這個(gè)有限元，但可以確定它是存在的). 最后一章討論了用樣條函數(shù)方法處理非線性偏微分方程，主要對(duì)二維Navi

14、er-Stokes方程進(jìn)行了數(shù)值模擬.用有限元方法計(jì)算二維Navier-Stokes方程是比較常見的，一般采用的都是混合元求解雙變量問題.盡管二維Navier-stokes方程的流函數(shù)(雙調(diào)和)形式是很容易得到的，但是鑒于構(gòu)造C<'1>有限元是一件比較復(fù)雜的工作，有限元方法不推薦采用這個(gè)形式.而從前面章節(jié)的介紹我們可以知道，樣條函數(shù)方法離散高階偏微分方程是方便的，所以對(duì)于這個(gè)問題樣條函數(shù)方法采用的是流函數(shù)形式，目的是為了減少自由度的數(shù)量

15、.同時(shí)也利用了包括牛頓迭代和同倫方法在內(nèi)的非線性方法來得到非線性問題的解，含高階導(dǎo)數(shù)的Dirichlet邊界處理也體現(xiàn)了樣條函數(shù)方法處理復(fù)雜問題的強(qiáng)大能力.最后，對(duì)方腔流動(dòng)和后臺(tái)階流動(dòng)等標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試問題進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了預(yù)期的數(shù)值結(jié)果. 縱觀全文，本文認(rèn)為樣條函數(shù)方法是屬于有限元理論范疇的一類數(shù)值方法，對(duì)于求偏微分方程數(shù)值解是比較有效并且非常方便的.論文除了對(duì)樣條函數(shù)方法進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹之外，也在以下三個(gè)方面對(duì)樣條函數(shù)方法進(jìn)行

16、了拓展和研究：首先，提出了具有不同次數(shù)的相鄰單元之間樣條函數(shù)的光滑協(xié)調(diào)條件，從而實(shí)現(xiàn)了樣條函數(shù)方法的p-自適應(yīng)處理，其中特別是C<'1>樣條函數(shù)空間的自適應(yīng)處理能力是有限元方法難以實(shí)現(xiàn)的.其次，得到了在允許任意層懸點(diǎn)的三角網(wǎng)格上的樣條函數(shù)空間的連續(xù)協(xié)調(diào)條件，并應(yīng)用于樣條函數(shù)方法的h-自適應(yīng).并且指出其相應(yīng)的系統(tǒng)方程在利用矩陣修改方法消去協(xié)調(diào)性約束條件后等價(jià)于一個(gè)有限元方法得到的線性系統(tǒng).最后，利用樣條函數(shù)方法求解二維不可壓流動(dòng)問題.由于