反證法有關(guān)

1、反證法是一類常用的間接證法，特別適用于否定性、存在性、唯一性問題。應(yīng)該說“反證法是一個(gè)積極的、主動(dòng)的證明大法”。（注Ⅰ）然而，對(duì)于反證法的理論依據(jù)，人們?cè)谡J(rèn)識(shí)上并不一致?，F(xiàn)摘抄最近出版的幾份教輔資料，便可知分岐之所在。1人民教育出版社、延邊教育出版社聯(lián)合出版的《全日制普通高中（人教版）教案系列叢書?數(shù)學(xué)第一冊(cè)上教案》第55頁(yè)第19行寫到：反證法證題的理論依據(jù)：原命題與其逆否命題同真假，即要證“若P則q”為真，可證“若┐q則P”為假，從而

2、“若┐q則┐P”為真（真值表），所以“若P則q”為真。為了方便，我們暫且將該書的觀點(diǎn)稱為“原命題與其逆否命題同真假”說，簡(jiǎn)稱為“同真假說”。2陜西師范大學(xué)出版社出版的《人教社新教材同步學(xué)案?黃岡兵法?高一數(shù)學(xué)上》第69頁(yè)第5行寫到：反證法是證明命題的一種間接方法，因?yàn)椤叭鬚則q”的否定形式是“若P則非q”，由真值表可知，若證得“若P則非q”是假命題，則“若P則q”必為真命題。它與證明原命題的逆否命題有著極大的區(qū)別，它的使用具體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

3、解題中“正難則反”的辯證思想，因此除掌握好使用反證法的步驟外，還要注意掌握使用反證法的時(shí)機(jī)。顯然，該書不同意“同真假說”，而認(rèn)為反證法的理論依據(jù)是證原命題的否定為假。我們暫且將該書的觀點(diǎn)稱為“原命題的否定為假，必有原命題為真”說，簡(jiǎn)稱為“命題否定說”。3蘇州大學(xué)出版社出版的《高一數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試（學(xué)生用書）》第24頁(yè)倒數(shù)第2行寫到：用反證法證明“若P則q”為真的方法是證明它的否定“若P且非q”為假，因此從“非q”出發(fā)引出矛盾是反證法的特征

4、。很明顯，該書的觀點(diǎn)應(yīng)屬于“命題否定說”，但與黃岡兵法的敘述稍有不同。“同真假說”與“命題否定說”，針鋒相對(duì)，孰對(duì)孰錯(cuò)呢？是不全對(duì)還是全不對(duì)呢？這正是本文所要辯析的問題。問題的辯析高一數(shù)學(xué)（人教版）第32頁(yè)對(duì)反證法證明命題的三個(gè)步驟明示得十分清楚，大家在這方面無任何異意。為簡(jiǎn)便起見，不妨將三個(gè)步驟分別稱為“反設(shè)”、“歸謬”、及“結(jié)論”?！皻w謬”部分既是反證法的核心，也是其精神實(shí)質(zhì)的具體體現(xiàn)。反證法的理論依據(jù)之所以認(rèn)識(shí)不盡一致，恐怕也源于

5、此。為明辨是非，我們有必要逐層剖析。1“歸謬”的“出發(fā)點(diǎn)”是什么？是單獨(dú)的“┐q”，還是“┐q且P”？筆者認(rèn)為，一般情況是“┐q且P”，特殊情況下，才不用P而僅用“┐q”。先看下例：題1、已知a、b、c是一組勾股數(shù)，求證a、b、c不能都是奇數(shù)。證明：旁白：假設(shè)a、b、c都是奇數(shù)，“反設(shè)”（┐q）則a2，b2，c2都是奇數(shù)，依據(jù)“┐q”推理由題設(shè)得a2b2=c2用到了條件p∴a2b2=c2為偶數(shù)依據(jù)“┐q且P”推理這與c2是奇數(shù)矛盾推出矛

6、盾故原命題成立得出結(jié)論此題說明，在一般情況下，“歸謬”的“出發(fā)點(diǎn)”是“┐q且P”題2、高一數(shù)學(xué)教材（人教版）第32頁(yè)例3，用反證法證明：如果ab0那么√a√b[分析]此題應(yīng)改為:當(dāng)：a0b0時(shí)，若ab，則√a√b。這樣改動(dòng)是將原命題仿本頁(yè)的例2改成，“當(dāng)a0b0時(shí)”是大前提，“若ab”是條件P，“則√a√b”是結(jié)論q證明：旁白：假設(shè)√a不大于√b“反設(shè)”即或√a√b，或√a=√b得“┐q”被涂黑，那么乙能看到（當(dāng)然對(duì)于丙也是一樣），乙既

7、然看到了我的臉沒給涂黑，同時(shí)他又認(rèn)為他的臉也沒給涂黑，那么乙就應(yīng)該對(duì)丙的發(fā)笑而感到奇怪.因?yàn)樵谶@種情況下（甲、乙的臉都是干凈的），丙是沒有可笑的理由了.然而現(xiàn)在的事實(shí)是乙對(duì)丙的發(fā)笑并不感到奇怪，可見乙是在認(rèn)為丙在笑我.由此可知，我的臉也給涂黑了.這里應(yīng)著重指出的是，甲并沒有直接看到自己的臉是否給涂黑了，他是根據(jù)乙、丙兩人的表情進(jìn)行分析、思考，而說明了自己的臉給涂黑了.簡(jiǎn)單地說，甲是通過說明臉被涂黑了的反面—沒被涂黑是錯(cuò)誤的，從而覺察了自

8、己的臉被涂黑了.因此這是一種間接的證明方法.顯然這種證明方法也是不可缺少的.像這樣，為了說明某一個(gè)結(jié)論是正確的，但不從正面直接說明，而是通過說明它的反面是錯(cuò)誤的，從而斷定它本身是正確的方法，就叫做“反證法“.我們證明數(shù)學(xué)命題，一般多用直接證法[就是直接從命題的題設(shè)(已知部分)出發(fā)，經(jīng)過推理，推出命題的結(jié)論（求證部分）正確].但有時(shí)用直接證法不易實(shí)現(xiàn)，則可采用間接證法，如反證法反證法就是其中的一種，下面我們把上述問題變成數(shù)學(xué)上的敘述.二、

9、學(xué)習(xí)、講解新課二、學(xué)習(xí)、講解新課⒈什么是反證法？⒈什么是反證法？要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的.即反證法反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法.例如，在上述例子中，要證明的結(jié)論是“甲的臉也給涂黑了”.在證明這個(gè)結(jié)論時(shí)，是先提出與結(jié)論相反的假設(shè)：“甲的臉沒被涂黑”，然后根據(jù)乙對(duì)丙的笑不感到奇怪這個(gè)事實(shí)（本來由“甲的臉沒被

10、涂黑”應(yīng)推出“乙對(duì)丙的笑應(yīng)感到奇怪”），推導(dǎo)出這個(gè)與結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，從而肯定了原來的結(jié)論成立.關(guān)于反證法，實(shí)際上我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)平行線時(shí)，就早已遇到過了.我們知道，在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行兩種.我們學(xué)過了平行公理：“經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”.下面我們用反證法來證明它的一個(gè)推論：“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”.已知：如圖，AB∥EF，CD∥EF，求證：AB

11、∥CD.證明：假設(shè)AB不平行于CD，則AB與CD就要交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為P.∵AB∥EF，CD∥EF，于是經(jīng)過點(diǎn)P就將有兩條直線AB和CD都與EF平行，根據(jù)平行公理，這是不可能的.∴AB與CD不能相交，只能平行.以上例子說明，無論是在日常生活中還是在數(shù)學(xué)中，都經(jīng)常應(yīng)用反證法.而且在某些情形下它還是一種比較簡(jiǎn)捷的證明方法.⒉反證法的主要步驟⒉反證法的主要步驟仔細(xì)分析上述問題不難看出，運(yùn)用反證法時(shí)，其主要步驟可以概括為：否定—推理—否定—肯定