數(shù)學分析反證法的應(yīng)用論文

1、麗水學院2012屆學生畢業(yè)論文數(shù)學分析中反證法的應(yīng)用理學院數(shù)學082董澤剛指導師：胡亞紅摘要：摘要：本文研究了數(shù)學分析中不同問題的反證法。對數(shù)學分析中的反證法進行總結(jié)研究，共分為數(shù)列極限的唯一性和收斂性，函數(shù)的連續(xù)、有界、極限和單調(diào)性，導數(shù)和積分，級數(shù)等四個部分，各部分之間并非完全獨立。本文對理解數(shù)學分析的基本概念，掌握數(shù)學分析的基本理論和技巧很有好處。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：反證法；命題；應(yīng)用在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法

2、是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。它不僅是解決問題的有力手段，而且推動了數(shù)學的發(fā)展，開辟了數(shù)學領(lǐng)域的新天地.數(shù)學是在歸納、發(fā)現(xiàn)、推廣中發(fā)展的。反證法在數(shù)學的發(fā)展中功不可沒。反證法不但在數(shù)學的發(fā)展和證明中有同等重要的作用，而且，在學習、領(lǐng)會和深入鉆研數(shù)學的時候，也離不開反證法.因為條件的強弱，使用范圍的寬窄，都需要用反證法作對比，才能加

3、深理解，如果命題有錯誤，證明有漏洞，也只有靠反證法去證實，并從反證法中得到修補的啟示。反證法是一種重要的反證手段，往往會成為數(shù)學殿堂的基石。學會構(gòu)造反證法是一種重要的數(shù)學技能。反證法的重要性要想充分的發(fā)揮出來，關(guān)鍵還在于具體的作出所需的反證法。至于反證法的作法，也如證明一樣，因題而異，方式多變。1反證法的基本思想反證法是一種間接的證明方法，它的基本思想是“否定推理矛盾肯定”，這種證明方法之所以令學生難以理解，是因為在證明過程中，每一步的

4、結(jié)論到下一步完全符合邏輯，但每一步的結(jié)論卻其實不能發(fā)生，從邏輯的觀點來看，反證法實際上是通過證明與命題邏輯等價的命題為真，從而間接證明了命題，顯然這個等價命題的條件中BA?BA?含有命題的結(jié)論的否定，反證法歷史悠久，曾被用來解決數(shù)學中許多重要結(jié)論.BA?B所謂反證法是指通過證明論題的否定論題不真實而肯定論題真實的方法.通常包括以下三個步驟:(l)反設(shè)—假定原命題的結(jié)論不成立；(2)歸謬—根據(jù)反設(shè)進行嚴密推理，直到得出矛盾；(3)結(jié)論—肯

5、定原命題正確。一般來說，如果命題的結(jié)論不易直接證明，結(jié)論的反面卻容易否定，那么反證法是可行的。但是由于數(shù)學命題的多樣性、復雜性，要對哪些命麗水學院2012屆學生畢業(yè)論文3命題“”，Axfxx??)(lim0即“”。??????????????Axfxxx)(0000有的滿足：使得其否定形式為”000)(000??????????????Axfxxx有的滿足命題“在上一致連續(xù)”，fI即“”。??????????????)()(002121

6、21xfxfxxIxx有只要使得其否定形式為“”02121210)()(00??????????????xfxfxxIxx但盡管滿足具體命題的證明是培養(yǎng)各種思維能力的主要渠道，怎樣的命題宜用反證法進行證明，這還需要不斷的探索和總結(jié)。3數(shù)學分析中經(jīng)常遇到的幾類問題用反證法的證明數(shù)學分析中經(jīng)常遇到的幾類問題用反證法的證明要能熟練掌握一種解題方法，僅僅滿足于會用這種方法解個別題目是不夠的，還要在解題的證明中注意積累經(jīng)驗，總結(jié)規(guī)律，解決何時可以

7、用這種方法來解決的問題，這有利于進一步加深對這種解題的方法實質(zhì)的理解。下面就數(shù)學分析中幾類常見的運用反證法證明的命題類型，舉例說明反證法的應(yīng)用。下面從數(shù)列的極限及收斂性；函數(shù)的極限、連續(xù)性、有界及單調(diào)性；導數(shù)及其積分以及級數(shù)中的命題結(jié)論的特征出發(fā)，輔之以具體例，介紹反證法的應(yīng)用以及它的特點，證明簡短而又有力。3.13.1數(shù)列的收斂性反證法的應(yīng)用數(shù)列的收斂性反證法的應(yīng)用定義1.1設(shè)為數(shù)列a為定數(shù)，若對任何的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當?