數(shù)學(xué)分析求極限的方法

1、1求極限的方法求極限的方法具體方法具體方法⒈利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則來求極限定理定理1①：若極限和都存在，則函數(shù)，)(lim0xfxx?)(limxgxx?)(xf?)(xg)()(xgxf?當(dāng)時也存在且0xx?①??)()()()(limlimlim0.00xgxfxgxfxxxxx??????②??)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx??????又若，則在時也存在，且有0)(lim0??xgxx)(

2、)(xgxf0xx?)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx????利用極限的四則運(yùn)算法則求極限，條件是每項(xiàng)或每個因子極限存在，一般所給的變量都不滿足這個條件，如、等情況，都不能直接用四則運(yùn)算法則，必須要對變量進(jìn)行變形，設(shè)法消去分子、分??00母中的零因子，在變形時，要熟練掌握飲因式分解、有理化運(yùn)算等恒等變形。例1：求2422lim????xxx解：原式=??????02222limlim22????????

3、??xxxxxx⒉用兩個重要的極限來求函數(shù)的極限①利用來求極限1sinlim0??xxx的擴(kuò)展形為：1sinlim0??xxx令，當(dāng)或時，則有??0?xg0xx???x或????1sinlim0??xgxgxx????1sinlim???xgxgx例2：xxx????sinlim解：令t=.則sinx=sin(t)=sint且當(dāng)x????時??x0?t3例5：求的極限30sinsintanlimxxxx??解：由而；).cos1(cos

4、sinsintanxxxxx???)0(~sin?xxx（）；（）2~cos12xx?x0?33sinxx?3~xx0?.故有=30sinsintanlimxxxx??lim0?x212cos132???xxxx注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有arctanx1sinlim0??xxxxsin).0(~?xx1arctanlim0??xxx，(x).x~0?另注：在利

5、用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中，若因有tanx，而推出=則得到的結(jié)果是x~)0(?xxsinx~).0(?x30sinsintanlimxxxx??0sin30lim???xxxx錯誤的。⒋利迫斂性來求極限定理定理3③：設(shè)f(x)=g(x)=A且在某內(nèi)有f(x)h(x)g(x)lim0xx?lim0xx?)(0?xuo?

6、?則h(x)=Alim0xx?例6：求x的極限lim0??x??????x1解：1x1x.且由迫斂性知????????x11)1(lim0????xxx=1?lim0??x??????x1做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個函數(shù)必須要收斂于同一個極限。⒌利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限包括：如函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則及若)(xf0x)()(0lim0xfxfxx??axxx??)(lim