2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線一.求切線方程求切線方程【例【例1】.已知曲線已知曲線f(x)=xf(x)=x32x2x21.1.(1)(1)求在點(diǎn)求在點(diǎn)P(1010)處的切線)處的切線l1的方程;的方程;(2)(2)求過點(diǎn)求過點(diǎn)Q(2121)與已知曲線)與已知曲線f(x)f(x)相切的直線相切的直線l2的方程的方程.提醒:注意是在某個點(diǎn)處還是過某個點(diǎn)!提醒:注意是在某個點(diǎn)處還是過某個點(diǎn)!二.有關(guān)

2、切線的條數(shù)有關(guān)切線的條數(shù)【例【例2】(】(20142014?北京)已知函數(shù)北京)已知函數(shù)f(x)=2x=2x3﹣3x3x(Ⅰ)求(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間)在區(qū)間[﹣2,1]1]上的最大值;上的最大值;(Ⅱ)若過點(diǎn)(Ⅱ)若過點(diǎn)P(1,t)存在)存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f(x)相切,求)相切,求t的取值范的取值范圍;圍;(Ⅲ)問過點(diǎn)(Ⅲ)問過點(diǎn)A(﹣(﹣1,2),),B(2,1010),),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線)

3、分別存在幾條直線與曲線y=fy=f(x)相切?(只需寫出結(jié)論))相切?(只需寫出結(jié)論)【解答】解:(Ⅰ)由【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2x=2x3﹣3x3x得f′(′(x)=6x=6x2﹣3,令f′(′(x)=0=0得,得,x=x=﹣或x=x=,∵f(﹣(﹣2)=﹣1010,f(﹣(﹣)=,f()=﹣,f(1)=﹣1,∴f(x)在區(qū)間)在區(qū)間[﹣2,1]1]上的最大值為上的最大值為(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P(1,t)的直線與曲線)的直

4、線與曲線y=fy=f(x)相切于點(diǎn)()相切于點(diǎn)(x0,y0),),則y0=2=2﹣3x3x0,且切線斜率為,且切線斜率為k=6k=6﹣3,∴切線方程為∴切線方程為y﹣y0=(6﹣3)()(x﹣x0),),∴t﹣y0=(6﹣3)()(1﹣x0),即),即4﹣6t3=0t3=0,設(shè),設(shè)g(x)=4x=4x3﹣6x6x2t3t3,則“過點(diǎn)則“過點(diǎn)P(1,t)存在)存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f(x)相切”,等價于“)相切”,等價于

5、“g(x)有)有3個不同的零點(diǎn)”∵個不同的零點(diǎn)”∵g′(′(x)=12x=12x2﹣12x=12x12x=12x(x﹣1),),∴g(0)=t3=t3是g(x)的極大值,)的極大值,g(1)=t1=t1是g(x)的極小值)的極小值∴g(0)>)>0且g(1)<)<0,即﹣,即﹣3<t<﹣<﹣1,∴當(dāng)過點(diǎn)過點(diǎn)∴當(dāng)過點(diǎn)過點(diǎn)P(1,t)存在)存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f(x)相切時,)相切時,t的取值范圍的取值范圍是(﹣是(﹣3

6、,﹣,﹣1))(Ⅲ)過點(diǎn)(Ⅲ)過點(diǎn)A(﹣(﹣1,2)存在)存在3條直線與曲線條直線與曲線y=fy=f(x)相切;)相切;實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔根,根,方程①有且僅有一解,故符合條件的切線有且僅有一條方程①有且僅有一解,故符合條件的切線有且僅有一條【作業(yè)【作業(yè)1】(】(20172017?莆田一模)已知函數(shù)莆田一模)已知函數(shù)f(x)=2x=2x3﹣3x13x1,g(x)=kx1=kx1﹣lnxlnx(1)設(shè)函數(shù))設(shè)函數(shù),當(dāng),當(dāng)k<0時,討論時,討

7、論h(x)零點(diǎn)的個數(shù);)零點(diǎn)的個數(shù);(2)若過點(diǎn))若過點(diǎn)P(a,﹣,﹣4)恰有三條直線與曲線)恰有三條直線與曲線y=fy=f(x)相切,求)相切,求a的取值范的取值范圍圍三.切線與切線之間的關(guān)系切線與切線之間的關(guān)系【例【例4】(】(20182018?綿陽模擬)已知綿陽模擬)已知a,b,c∈R,且滿足,且滿足b2cc2=1=1,如果存在兩,如果存在兩條互相垂直的直線與函數(shù)條互相垂直的直線與函數(shù)f(x)=axbcosxcsinx=axbco

8、sxcsinx的圖象都相切,則的圖象都相切,則aac的取值范圍是的取值范圍是.23abc???則23bc?,∵,∵b2cc2=1=1,∴sincosba????設(shè),∴235sin()bc?????,故aac∈[﹣,],【例【例5】.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=lnx=lnx﹣a(x﹣1),),g(x)=e=ex,其中,其中e為自然對數(shù)的為自然對數(shù)的底數(shù)底數(shù)(Ⅰ)設(shè)(Ⅰ)設(shè),求函數(shù),求函數(shù)t(x)在)在[m[m,m1]m1](m>0)上的)

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