2簡單的三角恒等變換

1、3.2簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換整體設(shè)計(jì)整體設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析一、教學(xué)分析本節(jié)主要包括利用已有的十一個公式進(jìn)行簡單的恒等變換以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來展現(xiàn)的通過例題的解答引導(dǎo)學(xué)生對變換對象和變換目標(biāo)進(jìn)行對比、分析促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識從而加深理解變換思想提高學(xué)生的推理能力.本節(jié)把三角恒等變換的應(yīng)用放在

2、三角變換與三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系上從而使三角函數(shù)性質(zhì)的研究得到延伸.三角恒等變換不同于代數(shù)變換，后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換，變換內(nèi)容比較單一.而對于三角變換，不僅要考慮三角函數(shù)是結(jié)構(gòu)方面的差異，還要考慮三角函數(shù)式所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換.從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個切入點(diǎn)，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，是三角恒等變換的重要特點(diǎn).二、三維目標(biāo)

3、二、三維目標(biāo)1知識與技能：知識與技能：通過經(jīng)歷二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力.2過程與方法：過程與方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會利用公式進(jìn)行簡單的恒等變形體會三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.3情感態(tài)度與價值觀：情感態(tài)度與價值觀：通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促

4、使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力.三、重點(diǎn)難點(diǎn)三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)訓(xùn)練.2.三角變換的內(nèi)容、思路和方法在與代數(shù)變換相比較中體會三角變換的特點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程

5、的能力.四、課時安排四、課時安排2課時五、教學(xué)設(shè)想五、教學(xué)設(shè)想第1課時課時（一）導(dǎo)入新課（一）導(dǎo)入新課思路思路1.我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一，三角函數(shù)主要有以下三個基本的恒等變換：代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經(jīng)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行了簡單的恒等變換，本節(jié)將綜合運(yùn)用和（差）角公式、倍角公式進(jìn)行更加豐富的三角恒等變換.思路思路2.三角函數(shù)的化簡、求值、證明，都離不開三角恒等變換.學(xué)習(xí)

6、了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活，同時也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺.對于三角變換由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異而且還會有所包含的角以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn).哪些公式包含s

7、inαcosβ呢？想到sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ.從方程角度看這個等式，sinαcosβ，cosαsinβ分別看成兩個未知數(shù).二元方程要求得確定解，必須有2個方程，這就促使學(xué)生考慮還有沒有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ后，解相應(yīng)的以sinαcosβ，cosαsinβ為未知數(shù)的二元一次方程組，就容易得到所需要的結(jié)果.（2）由（1）得到以和的形式表示的積的形式后，解

8、決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與（1）沒有什么區(qū)別.只需做個變換，令αβ=θ，αβ=φ，則α=，β=代入2???2???(1)式即得(2)式.證明證明:(1)因?yàn)閟in(αβ)=sinαcosβcosαsinβsin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ[來源:]將以上兩式的左右兩邊分別相加得sin(αβ)sin(αβ)=2sinαcosβ即sinαcosβ=[sin(αβ)sin(αβ)].21(2)由(

9、1)可得sin(αβ)sin(αβ)=2sinαcosβ.①設(shè)αβ=θαβ=φ那么α=β=.2???2???把αβ的值代入①即得sinθsinφ=2sincos.2???2???教師給學(xué)生適時引導(dǎo)，指出這兩個方程所用到的數(shù)學(xué)思想可以總結(jié)出在本例的證明過程中用到了換元的思想如把αβ看作θαβ看作φ從而把包含αβ的三角函數(shù)式變換成θφ的三角函數(shù)式.另外把sinαcosβ看作xcosαsinβ看作y把等式看作xy的方程通過解方程求得x這就是方

10、程思想的體現(xiàn).討論結(jié)果：討論結(jié)果：①α是的二倍角.2a②sin2=1cos.2a2cos1a?③④⑤略(見活動）.（三）應(yīng)用示例（三）應(yīng)用示例思路思路1例1化簡:..cossin1cossin1xxxx????活動：活動：此題考查公式的應(yīng)用，利用倍角公式進(jìn)行化簡解題.教師提醒學(xué)生注意半角公式和倍角公式的區(qū)別，它們的功能各異，本質(zhì)相同，具有對立統(tǒng)一的關(guān)系.解:原式==tan.)2sin2(cos2cos2)2cos2(sin2sin22c