三角恒等變換1

1、本章整合,,,,,,,,,,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是三角變換應(yīng)用的一個(gè)重要方面,其基本思想方法是統(tǒng)一角,統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱,在解題過(guò)程中應(yīng)著重抓住“角”的統(tǒng)一,通過(guò)觀察角、函數(shù)名稱、項(xiàng)的次數(shù)等找到突破口.利用切化弦、升冪、降冪、逆用公式等手段將其化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)最后的要求:(1)能求值盡量求值;(2)三角函數(shù)名稱盡量少;(3)項(xiàng)數(shù)盡量少;(4)次數(shù)盡量低;(5)分母、根號(hào)下盡量不含三

2、角函數(shù).,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,三,四,專題三,專題四,專題五,專題二　三角恒等式的證明三角恒等式的證明,就是運(yùn)用三角公式,通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q,消除三角恒等式兩端的差異,這些差異有以下幾個(gè)方面:(1)角的差異;(2)三角函數(shù)名稱的差異;(3)三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的差異.針對(duì)上面的差異,選擇合適的方法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.證明三角恒等式的常用方法有:左右互推、左右歸一、

3、恒等變形等.三角恒等式的證明可分為兩類:不附條件的三角恒等式的證明和附條件的三角恒等式的證明.不附條件的三角恒等式的證明多用左右互推、左右歸一、恒等變形等.附條件的三角恒等式的證明關(guān)鍵在于恰當(dāng)、合理地運(yùn)用條件或通過(guò)變形,觀察所附條件與要證等式之間的聯(lián)系,找到問(wèn)題的突破口,常用代入法或消元法證明.,專題一,專題二,三,四,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,三,四,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,三,四,專題三,專題四,專題

4、五,,專題一,專題二,專題三,四,四,專題四,專題五,專題三　三角函數(shù)的求值三角函數(shù)的求值主要有三種類型:一是給角求值;二是給值求值;三是給值求角.(1)給角求值:這類題目的解法相對(duì)簡(jiǎn)單,主要是利用所學(xué)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等,化非特殊角為特殊角,在轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注重上述公式的正用、逆用.當(dāng)然還有可能需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式.(2)給值求值:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角

5、的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角”,如:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.把所求角用含已知角的式子表示,求解時(shí)要注意角范圍的討論.(3)給值求角:實(shí)質(zhì)上是“給值求值”,一般規(guī)律是先求出待求角的某一個(gè)三角函數(shù)值,然后確定所求角的范圍,最后求出角.選擇三角函數(shù)時(shí)盡量選擇給定區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)名稱,以便于角的確定.,專題一,專題二,專題三,四,四,專題四,專題五,,專題一,專題二,專題三,四,四,專題四,專題五,,專題一,

6、專題二,專題三,四,四,專題四,專題五,,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題四　三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用三角函數(shù)與向量的綜合問(wèn)題是近幾年高考命題的熱點(diǎn).對(duì)這類問(wèn)題,首先要掌握向量的模、向量的坐標(biāo)表示、夾角和數(shù)量積等知識(shí),得到三角函數(shù)式,再進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,變式訓(xùn)練3　設(shè)向量a=(4cos α,sin α)

7、,b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求證:a∥b.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題五,(1)解:由a與b-2c垂直,得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(

8、2)解:b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β).∵|b+c|2=(sin β+cos β)2+(4cos β-4sin β)2=sin2β+2sin βcos β+cos2β+16cos2β-32cos β·sin β+16sin2β=17-30sin βcos β=17-15sin 2β,∴|b+c|2的最大值為32,即|b+c|的最大值為 .(3)證明:由tan αta

9、n β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,即4cos α·4cos β-sin αsin β=0,∴a∥b.,專題一,專題二,專題三,專題五,專題四,專題一,專題二,專題三,專題五,專題四,,專題一,專題二,專題三,專題五,專題四,專題一,專題二,專題三,專題五,專題四,專題一,專題二,專題三,專題五,專題四,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)一　化簡(jiǎn)、求值,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,,

10、,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)二　證明,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)三　與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用,5.(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ高考)函數(shù)f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值為　　　　　. 解析:∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin xcos φ+cos xsin φ-2sin

11、φcos x=sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ),∴f(x)max=1.答案:1,,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)四　實(shí)際應(yīng)用,7.(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ高考)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動(dòng)點(diǎn),角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為M,將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在