[學(xué)習(xí)]概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1章

1、概率與統(tǒng)計(jì),開(kāi)課系：理學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)系課程主頁(yè): http://jpkc.njust.edu.cn/gltj/index.htme-mail: stat @ mail.njust.edu.cn,教材：《概率與統(tǒng)計(jì)》(第二版） 陳萍 等編 科學(xué)出版社,參考書(shū)：1.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》浙江大學(xué) 盛驟等 編高等教育出版社2. 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三十三講》魏振軍 編中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,序 言,?,概率論是研究什么的？,

2、隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論——研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué),第一章 隨機(jī)事件及其概率,隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其運(yùn)算條件概率事件的獨(dú)立性,1.1隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱“試驗(yàn)”),隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)(p2)1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2.試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果;3.一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機(jī)試驗(yàn)可表為E,,E1: 拋一枚硬幣，分別用“H”

3、 和“T” 表示出正面和反面;E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。,隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的例,隨機(jī)事件,二、樣本空間(p2),1. 樣本空間：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為S={e}； 2. 樣本點(diǎn):

4、試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為e. 3. 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個(gè)基本事件,也記為e.,EX 給出E1-E7的樣本空間,幻燈片 6,隨機(jī)事件,1.定義 (p3) 試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”, 簡(jiǎn)稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素2.兩個(gè)特殊事件: 必然事件S 、不可能事件?.(p3)例如:對(duì)于試驗(yàn)E4

5、，以下A 、B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件A＝“至少出一個(gè)正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；B=“兩次出現(xiàn)同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出現(xiàn)一次正面”={HTT，THT，TTH},三、事件之間的關(guān)系,可見(jiàn)，可以用文字表示事件，也可以事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的實(shí)質(zhì)，且更便于今后計(jì)算概率還應(yīng)注意，同一樣本空間中，不同的事件之間有一定的關(guān)系，如試驗(yàn)E2 ，當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是HH

6、H時(shí)，可以說(shuō)事件A和B同時(shí)發(fā)生了；但事件B和C在任何情況下均不可能同時(shí)發(fā)生。易見(jiàn)，事件之間的關(guān)系是由它們所包含的樣本點(diǎn)所決定的，這種關(guān)系可以用集合之間的關(guān)系來(lái)描述。,,1.包含關(guān)系(p4)“ A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為A?B A＝B ? A?B且B?A.,,,2.和事件： (p4)“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作A?B,2’n個(gè)事件A1, A2,…, An至少有一個(gè)發(fā)生，記作,3.積事件(p4) :

7、A與B同時(shí)發(fā)生，記作 A?B＝AB,3’n個(gè)事件A1, A2,…, An同時(shí)發(fā)生，記作 A1A2…An,4.差事件(p4) ：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生,思考：何時(shí)A-B=??何時(shí)A-B=A？,5.互斥的事件(p5) ：AB＝ ?,6. 互逆的事件(p5) ? A?B＝ ?, 且AB＝ ?,,五、事件的運(yùn)算(p5),1、交換律：A?B＝B?A，AB＝BA2、結(jié)合律：(A?B)?C＝A?(B?C)，

8、 (AB)C＝A(BC)3、分配律：(A?B)C＝(AC)?(BC)， (AB)?C＝(A?C)(B?C)4、德摩根(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：,1.2 概率的定義及其運(yùn)算,從直觀上來(lái)看，事件A的概率是指事

9、件A發(fā)生的可能性,?,P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？,?,拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？,(p6)若某試驗(yàn)E滿足1.有限性：樣本空間S＝{e1, e 2 , … , e n };2.等可能性：（公認(rèn)）P(e1)=P(e2)=…=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型與概率,設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N

10、(A) ，以N(S)記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有,P(A)具有如下性質(zhì)(P7),(1) 0? P(A) ??1；(2) P(S)＝1； P(? )=0(3) AB＝?，則 P( A? B )＝ P(A) ＋P(B),古典概型中的概率(P7):,例:有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩,N(S)={HHH,HHT,HTH,T

11、HH,HTT,TTH,THT,TTT},N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT},二、古典概型的幾類基本問(wèn)題,乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法,復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念,,,,,,,,加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。,,,,,,,有重復(fù)排列：從含有n

12、個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k 次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，,n,n,n,n,共有nk種排列方式.,無(wú)重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k 次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，,共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,組合：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k 個(gè)，共有,種取法.,1、抽球問(wèn)題 例1:設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽

13、2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白,答:取到一紅一白的概率為3/5,一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是,在實(shí)踐中，產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等均可化為隨機(jī)抽球問(wèn)題。我們選擇抽球模型的目的在于是問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義更加突出,而不必過(guò)多的交代實(shí)際背景。,2、分球入盒問(wèn)題例2：將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）

14、空一盒的概率是多少？,解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(n?N)，則每盒至多有一球的概率是：,P8,某班級(jí)有n 個(gè)人(n?365)，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？,?,3.分組問(wèn)題例3 30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B: 3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組,一般地

15、，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(n>m),要求第 i 組恰有ni個(gè)球(i=1,……,m)，共有分法：,4 隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題,例4 從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè),(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,,N(3)=[200/24]=8,N(1)=[200/6]=33,,N(2)=[200/8]=25,(1),(2),(3)的概率分別

16、為：33/200,1/8,1/25,某人向目標(biāo)射擊，以A表示事件“命中目標(biāo)”，P（A）=？,?,定義:(p9) 事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.,1.3 頻率與概率,歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。 實(shí)驗(yàn)者 n nH

17、 fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pears

18、on 24000 12012 0.5005,?頻率的性質(zhì)(1) 0? fn(A) ??1；(2) fn(S)＝1； fn(? )=0(3) 可加性：若AB＝? ，則 fn(A?B)＝ fn(A) ＋fn(B).,實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)， fn(A) 逐漸 趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為

19、事件A的概率,1.3.2. 概率的公理化定義,注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義,,,1.定義(p10) 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間?中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負(fù)性： P(A) ?≥0；(2) 規(guī)范性：P(S)＝1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，…, 是一列兩

20、兩互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. (1.1)則稱P(A)為事件A的概率。,,2.概率的性質(zhì) P(10-12) (1) 有限可加性：設(shè)A1，A2，…An , 是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj＝ ? ，(i?j), i , j＝1, 2, …,

21、 n ,則有 P( A1 ? A2 ? … ? An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An);,,,(3)事件差 A、B是兩個(gè)事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調(diào)不減性：若事件A?B，則P(A)≥P(B),(4) 加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(A?B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，…，An

22、的情形；(3) 互補(bǔ)性：P(A)＝1－ P(A);(5) 可分性：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .,,,某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙. 沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.,EX,解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào),例1.3.2.在1?10這

23、10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率；（2）取到的數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率；（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。,解:設(shè)A—取到的數(shù)能被2整除;B--取到的數(shù)能被3整除,故,袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問(wèn)第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？第二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？,?,1.4 條件概率,若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是

24、多少？,已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A),若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？,一、條件概率例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的 概率; （2）求第二次取到紅球的概率；（3）求兩次均取到紅球的概率。,設(shè)A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球

25、,,S=,,,A,B,,,A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球,顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則,稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率(p14),一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則,?,“條件概率”是“概率”嗎？,何時(shí)P(A|B)=P(A)?何時(shí)P(A|B)>P(A)?何時(shí)P(A|B)<P(A)?,概率定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所

26、對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：P(A) ?≥0； (2) P(S)＝1;(3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，…, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 則稱P(A)為事件A的概率。,例2.(p14)一盒中混有100只

27、新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設(shè)A--從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B--從盒中隨機(jī)取到一只新球.,,A,,B,二、乘法公式(p14),設(shè)A、B?S，P（A）>0,則 P(AB)＝P(A)P(B|A). (1.4.1)式(1.4.1)就稱為事件A、B的概率乘法公式。,式(1.4.1)還可推

28、廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.2) 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). (1.4.3),例3 盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球,每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概

29、率。,解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則,三、全概率公式與貝葉斯公式,例4.(p15)市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2％、1％、3％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。,,B,定義 (p16)事件組A1，A2，…，An (n可為?)，稱為樣本空間S的一個(gè)劃分，若滿足：,,,,,,,,,,A1,A2,…,…,…,…,…,An,,B,定理1、(p

30、16) 設(shè)A1，…, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件B?S有,式(1.4.4)就稱為全概率公式。,例5 (P16)有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球．這六個(gè)球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔?wèn)此球是紅球的概率？,解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球； A2——從甲袋放入乙袋的是紅球； B—

31、—從乙袋中任取一球是紅球；,?,,甲,乙,定理2 (p17) 設(shè)A1，…, An是S的一個(gè)劃分，且P(Ai) > 0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件B?S，有,式(1.4.5)就稱為貝葉斯公式。,思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,,答:,(P21)22. 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果

32、都是好的，便買(mǎi)下了這一箱.問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？,解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6 數(shù)字通訊過(guò)程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0

33、.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問(wèn)發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,＝,＝,＝,0.067,解：設(shè)A---發(fā)射端發(fā)射0， B--- 接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)．,,,,,,0 (0.55),0 1 不清,(0.9)(0.05)(0.05),,,,,,1 (0.45),1 0 不清,(0.85)(0.05)(0.1),,條

34、件概率,條件概率 小 結(jié),縮減樣本空間,,定義式,,,乘法公式,,全概率公式,,,,貝葉斯公式,1.4.5 事件的獨(dú)立性一、兩事件獨(dú)立,(P18) 定義1 設(shè)A、B是兩事件，P(A) ≠0,若 P(B)＝P(B|A) (1.5.1)則稱事件A與B相互獨(dú)立。式(1.5.1)等價(jià)于： P(AB)＝P(A)P(B)

35、 (1.5.2),從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問(wèn)A與B是否獨(dú)立？,定理、以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。,,,,,二、多個(gè)事件的獨(dú)立,定義2、(p19) 若三個(gè)事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),

36、P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；,若在此基礎(chǔ)上還滿足：(2) P(ABC)＝P(A)P(B)P(C), (1.5.3)則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。,一般地，設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意k (1?k?n), 任意的1?i1?i2 ?… ? ik? n，具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(

37、A ik) (1.5.4)則稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。,,思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則,2.一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次至少得一個(gè)雙六，這兩件事，哪一個(gè)有更多的機(jī)會(huì)遇到？,答:0.518, 0.496,三、事件獨(dú)立性的應(yīng)用,1、加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立, 則

38、 (1.5.5),2、在可靠性理論上的應(yīng)用P22, 25．如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。,設(shè)A---L至R為通路,Ai---第i個(gè)繼電器通,i=1,2,…5,由全概率公式,EX1:一個(gè)學(xué)生欲到三家圖書(shū)館借一本參考書(shū)．每家圖書(shū)館購(gòu)進(jìn)這種書(shū)的概率是1/2，購(gòu)進(jìn)這