[學(xué)習(xí)]概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2章

1、第二章隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性條件分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問(wèn)題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說(shuō)：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，如數(shù)學(xué)分析中的常量與變

2、量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量,2.1 隨機(jī)變量的概念,(p23)定義. 設(shè)S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果變量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)e?S，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z 或 ?、?、?等表示。,隨機(jī)變量的特點(diǎn):,,,1 X的全部可能取值是互斥且完備的；,2

3、X的部分可能取值描述隨機(jī)事件。,,?,請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子,EX．引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：①將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件A={有1個(gè)空格}，B={有2個(gè)空格}，C={全有球}。②進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件D={試驗(yàn)成功一次}，F(xiàn)={試驗(yàn)至少成功一次}，G={至多成功3次},隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量,2.2離散型隨機(jī)變量,(P24)定義 若隨機(jī)變量X取值x1, x2, …, xn, … 且取這些值的概率依次

4、為p1, p2, …, pn, …, 則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 為X的分布律或概率分布。可表為 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，或…,Xx1 x2…xK…Pkp1p2…pk…,,(1) pk ? 0, k＝1, 2, … ;(2),例1 設(shè)袋中

5、有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解 k可取值0，1，2,2. 分布律的性質(zhì),例2.某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。,解：設(shè)Ai?第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨(dú)立且P(Ai)=p,i=1,2,…5. SX={0,1,2,3,4,5},,(1-p)5,·幾個(gè)常用的離散型分布

6、（一）伯努利(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布,1. (0-1)分布(p25) 若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1或,,,(P26)若以X表示n重伯努利試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記作 其分布律為：,2.(p26)定義 設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，

7、每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).,例3.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.,解:(1)由題意,X?B(6,1/3),于是,X的分布律為:,例4. 某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。,泊松定

8、理(p27) 設(shè)隨機(jī)變量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，記?=np，則,解 設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400, 0.02)，故P{X?2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…,上題用泊松定理 取? =np＝(400)(0.02)＝8, 故近似地有,P{X?2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1

9、}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.,（二. ） 泊松(Poisson)分布P(?)(p27) X～P{X＝k}＝ , k＝0, 1, 2, … (??0),泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)?=np的泊松分布,例5.設(shè)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為?的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對(duì)夫婦,

10、至少有3個(gè)孩子的概率。,解:由題意,,例6. 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。,解:m=1時(shí),,m>1時(shí),X的全部取值為:m,m+1,m+2,…,P{X=m+1}=P{第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且 在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次},想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：熊貓彩電的壽命X是

11、一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，你是否在意{X>5年}還是{X>5年零1分鐘},2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念.,定義(P28) 設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{X?x}的概率P{X?x}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即 F(x)＝P {X?x}.,,,易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a, b (a<b), P {a<X?b}＝P{X?b

12、}－P{X?a}＝ F(b)－F(a).,利用分布函數(shù)計(jì)算各種概率,二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P28),1、單調(diào)不減性：若x1<x2, 則F(x1)?F(x2); 2、歸一 性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0?F(x)?1，且,3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，,反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,例1 設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表,解,,,,,,,試求出X的分布函數(shù)。,當(dāng)x<

13、0時(shí), F(x)=0,當(dāng)x=0時(shí), F(x)=P{X≤0}=P{X=0}=0.1,當(dāng)0<x<1 時(shí), F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.1,,當(dāng)1 ≤ x <2 時(shí), F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.1+0.6=0.7,,當(dāng)2 ≤ x 時(shí), F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1,,一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量 X～P{X= x

14、k}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函數(shù)為,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)離散型隨機(jī)變量的可能取值點(diǎn),跳躍高度對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量取對(duì)應(yīng)值的概率;反之,如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機(jī)變量必為離散型隨機(jī)變量.,例2 向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，求X的分布函數(shù)解： F(x)=P{X≤x},,,,,,,,,,當(dāng)x

15、1時(shí),F(x)=1,當(dāng)0≤x≤1時(shí),,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1,用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？,?,a,b,2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量一、概率密度,1. 定義(p31) 對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-?<x<+?)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù). 常記為 X～

16、 f(x) , (-?<x<+?),密度函數(shù)的幾何意義為,2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p32) (1) 非負(fù)性 f(x)?0，(-?<x<?)； (2)歸一性,性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求常數(shù)a.,答:,,(3) 若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求f(x),,（4） 對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X～ f(x)，(-?<x<?)，則P

17、{X=b}＝0。于是,P33 例2.3.2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為1)求X的分布函數(shù)F(x),2)求P{X?(0.5,1.5)},P{X?(0.5,1.5)}=F(1.5)-F(0.5)=3/4,解：,解：,二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布,1. 均勻分布(p34) 若X～f(x)＝,,,,,,,,,則稱X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 X~U(a, b),對(duì)任意實(shí)數(shù)c, d (a<c<d<b)，都

18、有,例.長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率。,15,45,解：設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則X?U(0,60),2. 指數(shù)分布(p34) 若 X～,則稱X服從參數(shù)為?>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為,,,,,,,例 .電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命

19、超過(guò)2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？,解,例.某公路橋每天第一輛汽車過(guò)橋時(shí)刻為T，設(shè)[0，t]時(shí)段內(nèi)過(guò)橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為?t的泊松分布，求T的概率密度。,解,當(dāng)t ≤0時(shí)，,當(dāng)t >0時(shí)，,=1- {在t時(shí)刻之前無(wú)汽車過(guò)橋},于是,正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特 別重要的地位。,3. 正

20、態(tài)分布（P35),,A,B,A，B間真實(shí)距離為?，測(cè)量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？,,,其中 ?為實(shí)數(shù)， ?>0 ，則稱X服從參數(shù)為? ,?2的正態(tài)分布,記為N(?, ?2)，可表為X～N(?, ?2).,若隨機(jī)變量,(1) 單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線x=?對(duì)稱；(p36)f(?)＝max{f(x)}＝ .,正態(tài)分布有兩個(gè)特性：,(2) ?的大小直接影響概率的分布?越大，曲

21、線越平坦，?越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布,4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p36) 參數(shù)?＝0，?2＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0, 1)。,分布函數(shù)表示為,其密度函數(shù)表示為,一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書(shū)均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱?(x)的值。(P218附表1)如，若Z~N（0，1）,?（0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=?(2.43)-?(1.32)=0

22、.9925-0.9066=0.0859,注：(1) ?(x)＝1－ ?(－x)； (2) 若X～N(?, ?2)，則,,EX,設(shè)隨機(jī)變量X~N(-1,22),P{-2.45<X<2.45}=?,P(37)例2.3.5.設(shè) X?N(?,?2),求P{?-3?<X<?+3?},本題結(jié)果稱為3? 原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X- ? |≤3?} ≈1，忽略{|X- ? |>3?}的值.

23、 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3?作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.,(p63)13.一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率.,解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),,故,則Y~B(3,p),其中,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,2.5 一維隨機(jī)變

24、量函數(shù)的分布,(p52) 設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為 X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, …若y＝g(x)是一元單值實(shí)函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。求Y的分布律.,例:已知,,,X,Pk,-1 0 1,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,1 0,,,或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … （其中g(shù)(xk)有相同的，其

25、對(duì)應(yīng)概率合并。）,一般地,,,,X,Pk,Y=g(X),二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般方法(p53) 若X~f(x), -?< x< +?, Y=g(X)為隨機(jī)變量X 的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) ＝P{Y?y}＝P {g(X) ?y}＝,然后再求Y的密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,例1.設(shè)X?U(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。,當(dāng)y<0時(shí),

26、當(dāng)0≤y<1時(shí),當(dāng)y≥1時(shí),,,,解,例2.設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)且是x的嚴(yán)格單減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函數(shù)為,FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y}=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y)),?Y的概率密度為 fY(y)=F?(g-1(y))=－fX(g-1(y)) g-1(y),2、公式法：一般地 若X～fX(x), y=g(x

27、)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則,,注：1 只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；2 注意定義域的選擇。,其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù).,例3.已知X?N(?,?2),求,解：,的概率密度,關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)為,故,例4 設(shè)X~U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0),解: Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為,故,而,故,小結(jié).,2.6 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布一、 多維隨機(jī)變量,1.定義(P38

28、)將n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，...,Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量 (X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機(jī)變量。,一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律,(P39)設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，(x, y)?R2, 則稱

29、 F(x,y)=P{X?x, Y?y}為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,二. 聯(lián)合分布函數(shù),幾何意義：分布函數(shù)F( )表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：,對(duì)于(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1< x2， y1<y2 ),則 P{x1<X? x2， y1<Y?y2 } ＝F(x2, y2)－

30、F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1).,,,(x1, y1),(x2, y2),,,(x2, y1),(x1, y2),,,,,,,,,,,,,,,,,EX,G,已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F (x,y),求(X,Y)落在如圖區(qū)域G內(nèi)的概率.,答:,,分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：(p39),且,(1)歸一性 對(duì)任意(x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1,,(2)單調(diào)不

31、減 對(duì)任意y ?R, 當(dāng)x1<x2時(shí)， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 對(duì)任意x ?R, 當(dāng)y1<y2時(shí)， F(x, y1) ? F(x , y2).,(3)右連續(xù) 對(duì)任意x?R, y?R,,(4)矩形不等式 對(duì)于任意(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1< x2， y1<y2 ), F

32、(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)?0.,反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)。,例1.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3},解:,三.聯(lián)合分布律,(P40)若二維隨機(jī)變量(X, Y)只能取至多可列對(duì)值(xi, yj), (i, j＝1,

33、2, … )，則稱(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量。若二維離散型隨機(jī)變量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率為pij,則稱 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布律，或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律.可記為 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，,X Y y1

34、 y2 … yj … p11 p12 ... P1j ... p21 p22 ... P2j ... pi1 pi2 ... Pij ...,...,...,...,...,...,...,...,..

35、.,,,,聯(lián)合分布律的性質(zhì) (1) pij ?0 , i, j＝1, 2, … ； (2),x1 x2xi,二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下:,P40,例2.袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次， 令,,求(X,Y)的分布律。,,,,X,Y,1 0,1 0,四.二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù),1、定義 p41

36、 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X, Y)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f (x, y)，使對(duì)?(x, y)?R2，其分布函數(shù),則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為(X, Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為 (X, Y)～ f (x, y)， (x, y)?R2,2、聯(lián)合密度f(wàn)(x, y)的性質(zhì)(p41) (1)非負(fù)性： f (x, y)?0,

37、 (x, y)?R2; (2)歸一性：,反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)f(x, y)，必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。此外，f (x, y)還有下述性質(zhì),(3)若f (x, y)在(x, y)?R2處連續(xù)，則有,(4)對(duì)于任意平面區(qū)域G? R2,,EX,設(shè),求:P{X>Y},,,,,,G,1,1,x,y,求：(1)常數(shù)A；(2) F(1,1)；(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x?0, y?0, 2

38、X+3y?6 內(nèi)的概率。,例3. 設(shè),,,,,解(1)由歸一性,1,1,(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x?0, y?0, 2X+3y?6 內(nèi)的概率。,解,3. 兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布(p42) 若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為則稱(X, Y)在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布。,易見(jiàn)，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))

39、服從均勻分布，對(duì)D內(nèi)任意區(qū)域G，有,例4.設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X} ；(3)求F(0.5,0.5),解:,其中，?1、?2為實(shí)數(shù)，?1>0、?2>0、| ? |<1，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為?1, ?2, ?1, ?2, ?的二維正態(tài)分布，可記為,(2)二維正態(tài)分布 若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為(P97),分布

40、函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。事實(shí)上，對(duì)n維隨機(jī)變量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P(X1? x1, X2 ?x2, … , Xn ?xn)稱為的n維隨機(jī)變量(X1, X2, … , Xn)的分布函數(shù)，或隨機(jī)變量X1, X2, … , Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。,定義2.4.6. n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)，如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f(x1,x2,...xn)

41、使對(duì)任意的n元立方體,定義2.4.7. 若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，稱(X1,X2,...Xn)為n維離散型的，稱P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn) ∈Rn為n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的聯(lián)合分布律。,則稱(X1,X2,...Xn)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x1,x2,...xn)為(X1,X2,...Xn)的概率密度。,求：（1）P

42、{X?0},(2)P{X?1},(3)P{Y ? y0},EX:隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為,,,x,y,,D,答: P{X?0}=0,,,,FY(y) ＝P{Y?y} ＝F (+?, y)＝ 稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).,2.7.邊緣分布與獨(dú)立性一、邊緣分布函數(shù)(p43),FX(x) ＝P{X?x} ＝F (x, +?)＝,稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布

43、函數(shù)；,邊緣分布實(shí)際上是高維隨機(jī)變量的某個(gè)(某些)低維分量的分布。,例1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為,求FX(x)與FY(y)。,二、邊緣分布律,若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (p44) (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 則稱 P{X＝xi}＝pi.＝ ，i＝1, 2, …為(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律；,P{Y＝ yj

44、}＝p.j＝ ，j＝1, 2, … 為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。,例2.已知(X,Y)的分布律為x\y10 11/103/100 3/10 3/10求X、Y的邊緣分布律。,解：x\y10pi.11/103/1003/103/10 p.j,故關(guān)于

45、X和Y的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、邊緣密度函數(shù),為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。,設(shè)(X, Y)～f (x, y), (x, y)?R2, 則稱 (p45),為(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱,易知N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N(?1, ?12)的密度函

46、數(shù)，而fY(y)是N(?2, ?22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。,例3.設(shè)(X,Y)的概率密度為,（1）求常數(shù)c;(2)求關(guān)于X的邊緣概率密度,解:(1)由歸一性,,,,設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布， 求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度,x=y,x=-y,EX,四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,定義 稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)a<b,c<d，有(p46)p{a<X?b,c<

47、Y?d}=p{a<X?b}p{c<Y?d} 即事件{a<X?b}與事件{c<Y?d}獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立。,定理 隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的充分必要條件是(p46)F(x,y)=FX(x)FY(y),定理(p47) 設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理2.4.4. (p47)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為Pi

48、,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意i,j，Pi,j=Pi?P?j 。,由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(duì)(X,Y)的每一對(duì)可能取值點(diǎn),邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可,EX：判斷例1、例2、例3中的X與Y是否相互獨(dú)立,(p47例2.5.4)已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為,且知X與Y獨(dú)立，求a、b的值。,(p47例2.5.5)甲

49、乙約定8:00?9:00在某地會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最多等待15分鐘過(guò)時(shí)不候。求兩人能見(jiàn)面的概率。,定義 設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn), (X1,X2,…,Xn)的k（1?k<n)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1,X2）的邊緣分布函數(shù)是FX1,X2（x1,x2)=F(x1,x2,??,?...?)若Xk 的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),

50、k=1,2,…,n,,五．n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性(p48),則稱X1,X2,...Xn 相互獨(dú)立，或稱(X1,X2,...Xn)是獨(dú)立的。,對(duì)于離散型隨機(jī)變量的情形，若對(duì)任意整數(shù)i1, i2, …, in及實(shí)數(shù) 有,則稱離散型隨機(jī)變量X1, X2, …, Xn相互獨(dú)立。,設(shè)X1，X2，…，Xn為n 個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若對(duì)任意的(x1, x2, …, xn)?Rn，

51、 f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)幾乎處處成立，則稱X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。,定義 設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,...xn)；m維隨機(jī)變量(Y1,Y2,…Ym)的分布函數(shù)為FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym組成的n+m維隨機(jī)變量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym)

52、的分布函數(shù)為F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym).如果F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym)= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym)則稱n維隨機(jī)變量(X1,X2,...Xn)與m維隨機(jī)變量(Y1,Y2,…Ym)獨(dú)立。,定理 設(shè) (X1,,X2, …, Xn ) 與 (Y1, Y2,…, Ym ) 相互獨(dú)立，則Xi (i=1, 2, …, n))與Yi (i=1, 2, …,

53、m)相互獨(dú)立；又若h, g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,,X2, …, Xn)與g(Y1, Y2,…， Ym )相互獨(dú)立.,(p49)設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，X和Y的邊緣分布律分別為,2.8 條件分布一. 離散型隨機(jī)變量的條件分布律,為Y＝ yj的條件下，X的條件分布律;,若對(duì)固定的j, p.j>0, 則稱,同理，

54、對(duì)固定的i, pi. >0, 稱,為X＝ xi的條件下，Y的條件分布律;,EX.設(shè)某昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化成蟲(chóng)的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度,定義(p50). 給定y，設(shè)對(duì)任意固定的正數(shù)?>0，極限,存在，則稱此極限為在Y=y條件下X的條件分

55、布函數(shù).記作,可證當(dāng) 時(shí),若記 為在Y=y條件下X的條件概率密度，則由(3.3.3)知,當(dāng) 時(shí)， .,類似定義，當(dāng) 時(shí),例2.已知(X,Y)的概率密度為,(1)求條件概率密度,(2)求條件概率,,,,,x,y,1,解:,=…p51,2.8 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機(jī)

56、變量函數(shù)的分布律,設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝y(tǒng)j)＝pij ，i, j＝1, 2, … 則 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ ＝pk , k＝1, 2, …,或,,,EX 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且均服從0-1 分布，其分布律均為 X 0 1 P q

57、 p (1) 求W＝X＋Y的分布律;(2) 求V＝max(X, Y)的分布律；(3) 求U＝min(X, Y)的分布律。(4)求w與V的聯(lián)合分布律。,,,0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,,,,V,W,0 1,0 1 2,0,0,0,二、多維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般的方法：分布函數(shù)法(p56)

58、 若(X1, X2, …, Xn)~f (x1, x2, …, xn), (x1, x2, …, xn)?Rn, Y=g(X1, X2, …, Xn), 則可先求Y的分布函數(shù):,然后再求出Y的密度函數(shù):,2、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù) (1)和的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝X＋Y的密度。,,,,,,,,,,,,,,,,,z

59、 x+y=z x+y? z,若X與Y相互獨(dú)立，則Z＝X＋Y的密度函數(shù),例1. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布。,一般地，設(shè)隨機(jī)變量X1, X2，..., Xn獨(dú)立且Xi服從正態(tài)分布N(?i ,?i2),i=1,...,n, 則,p58

60、,例2.卡車裝運(yùn)水泥,設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從N(50,2.52)分布,該卡車的額定載重量為2000kg,問(wèn)最多裝多少袋水泥,可使卡車超載的概率不超過(guò)0.05.,解:設(shè)最多裝n袋水泥,Xi為第i袋水泥的重量.則,由題意,令,查表得,(2)商的分布 已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)?R2, 求Z＝ 的密度。,,,,,,,,,,,,,,,,y G1

61、 0 x G2,特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，上式可化為,其中fX(x), fY(y)分別為X和Y的密度函數(shù)。,3、極大(小)值的分布(p60) 設(shè)X1, X2, …, Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn)，記M＝max{X1, X2, …

62、, Xn }, N＝min{X1, X2, …, Xn }則M和N的分布函數(shù)分別為：,FM(z)＝F1(z) … Fn(z),特別，當(dāng)X1, X2, …, Xn獨(dú)立同分布(分布函數(shù)相同)時(shí)，則有 FM(z)＝[F(z)]n; FN(z)＝1－[1－F(z)]n. 進(jìn)一步地，若X1, X2, …, Xn獨(dú)立且具相同的密度函數(shù)f (x)，則M和N

63、的密度函數(shù)分別由以下二式表出 fM(z)＝n[F(z)]n－1f (z)； fN(z)＝n[1－F(z)]n－1f (z).,P60例 設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為(i)串聯(lián)，(ii)并聯(lián)，如圖所示設(shè)L1,L2的壽命分別為X與Y，已知它們的概率密度分別為,其中?>0，?>0,試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概