一般實系數(shù)三次方程謝國芳求根公式的推導方法1（從卡丹公式出發(fā)的推導）

1、Page112一般實系數(shù)三次方程的簡明新求根公式和判別法——謝國芳Email:roixie@目次1.一般三次方程的簡化2.簡約三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推導3.卡丹公式的缺陷和簡約實系數(shù)三次方程的新求根公式和判別法4.一般實系數(shù)三次方程的新求根公式和判別法1一般三次方程的簡化對于一般形式的三次方程兩邊同除以，即可化為首320axbxcxd????(0)a?a項系數(shù)為1的三次方程320bcdxxxaaa????然后作變量代

2、換（1）3bxya??可消去二次項，將它化為下面的形式：（2）30ypyq???其中.（3）2233bacpa=323922727abcbadqa????下面我們把形如式（2）的三次方程稱為簡約三次方程.2簡約三次方程的解法和卡丹（Cardan）公式的推導在方程（2）中，設（4）ymn??代入并展開整理后得到Page312（9）3232331232322332232232333()()()()232232()()()()232232()

3、()()()232232qpqqpqyMNqpqqpqyMNqpqqpqyMN?????????????????????????????????????????????????這正是著名的卡丹（J.Cardan，也譯作卡當或卡爾丹、卡爾達諾）公式.3卡丹公式的缺陷和簡約實系數(shù)三次方程的新求根公式和判別法卡丹公式在理論上解決了三次方程的求解問題，可以說是一個在數(shù)學史上赫赫有名、意義非凡的公式，但在實際應用中卻遭受“冷遇”，雖然它是一個精確

4、的求根公式，但在實際應用中人們往往寧可采用其他近似的數(shù)值方法（如二分法、牛頓切線法和各種迭代法等）而不愿意用它來求解三次方程，造成這一奇怪現(xiàn)象的原因在很大程度上不能不歸咎于卡丹公式本身。作為三次方程的求根公式，卡丹公式確實存在不少缺陷，大致說來有下面這幾個方面：第一，它僅僅是針對沒有二次項的三次方程的求根公式，對于一般形30xpxq???式的三次方程，需要經(jīng)過變換從先求出相應參數(shù)的值320axbxcxd????abcdpq后才能套用公式

5、求解，顯然，這在實際應用中是很不方便的.（拿二次方程的情形作類比，卡丹公式相當于僅僅是沒有一次項的二次方程的求根公式，而對于一般形式的20xp??二次方程，人們必須自行設法變換到的形式后才能求解.）20axbxc???20xp??第二，即使限于沒有二次項的三次方程，卡丹公式的復雜結構和冗長30xpxq???笨重的表達式也令人望而生畏，特別是對于比較復雜的數(shù)值，由于需要反復地乘方開方，計算相當繁復.第三，當時[1]，雖然這時候方程的三個根