特征方程法求解數(shù)列通項(xiàng)的依據(jù)

1、特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)湖北省竹溪縣第一高級(jí)中學(xué)徐鴻考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的線性遞推問(wèn)題.設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問(wèn)題，然而這樣做太過(guò)繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法——特征方程法特征方程法：針對(duì)問(wèn)題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程稱(chēng)之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理定理1設(shè)上述遞推

2、關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元?jiǎng)t當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例，說(shuō)明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？將該式代入①式得②將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是③當(dāng)，即=時(shí)，由②式