向量空間5

1、1三向量空間一、向量空一、向量空間的定的定義線性代數(shù)是研究向量空間中的線性變換的理論線性變換是實(shí)際運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，變換的舞臺就是向量空間向量空間是由線性變換自然定義的，因?yàn)榫€性變換L是一個集合到另一個集合的映射，這個映射要滿足（1）對于集合V上任意向量uv有L(uv)=L(u)L(v)（2）對于集合V上任意向量v和任意實(shí)數(shù)k，有L(kv)=kL(v)這個定義要求集合V上的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足封閉性：即（1）任意，有Vvu?Vvu??（2）

2、任意，任意，有Vu?Rk?Vkv?我們把滿足以上性質(zhì)的集合V稱為向量空間容易驗(yàn)證是向量空間除了R2R3RnR零向量空間外，其他所有向量空間V的元素數(shù)量是無窮多的我們希望找到V的有限子集（代表，委員會），它能夠表達(dá)V中任意向量這里的表達(dá)就是指V中任意向量，nvvv2?1v都存在實(shí)數(shù)，使得nkkk2?1nnvkvkvkv?????2211定義1.1（線性組合）合）對于向量，如果存在向量組和實(shí)數(shù)使得vnvvv2?1nkkk2?1nnvkvkv

3、kv?????2211則稱為的線性組合，或者說可以由向量組線性表示vnvvv2?1vnvvv2?1定義1.2（生成集）（生成集）對于向量空間V，如果其中任意向量都可以表達(dá)為向量組的n21vvv?線性組合，則稱向量組是向量空間V的生成集n21vvv?例1.1中任何向量都可以表達(dá)為兩個向量的線性組合所以為2R??????????????????100121ee21ee的生成集類似地，2R3??????????????????????????

4、???????100010001321eee容易驗(yàn)證向量組也是也是是的生成集，其中??321vvv3R?????????????????????????????????001011111321vvv我們稱同一個向量空間的兩組生成集是等價等價的定義1.3（等價向量（等價向量組）設(shè)和是等價的，如果兩組向量組能彼此相??muuu21???nvvv21?互線性表示顯然和等價等價的向量組未必含???????????????????????????

5、????????????????001011111321vvv???????????????????????????????????????????100010001321eee有數(shù)量相等的向量比如和等價，???????????????????????????????????????????001011111321vvv??????????????????????????????????????????????????????11110

6、0010001321ueee但是和不等價，因?yàn)榇嬖跓o法由線???????????????????????????????????????????001011111321vvv????????????????????????????????01000121ee???????????1111v21ee性表示顯然如果和等價，和等價，則??muuu21???nvvv21???nvvv21???kwww21?和也是等價的??muuu21???kw

7、ww21?對于向量空間V的等價的生成集，自然希望找到集合元素的數(shù)量盡可能少的生成集這種生成集的一個特點(diǎn)是要求其中的向量間無關(guān)二、向量相關(guān)性二、向量相關(guān)性對于向量組，如果存在某個向量可以由其他向量線性表示，則稱這組向量是線nvvv21?性相關(guān)的，否則線性無關(guān)正式地，定義2.1（線性相關(guān)和性相關(guān)和線性無關(guān)）性無關(guān)）對于向量組，如果存在非零實(shí)數(shù)：使nvvv21?n21xxx?得，則稱向量線性相關(guān)否則，如果方程組0vxvxvxnn2211???