三角形五心及其性質(zhì)

1、1三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。三角形垂心的性三角形垂心的性質(zhì)設(shè)△ABC的三條高的三條高為AD、BE、CF，其中，其中D、E、F為垂足，垂心垂足，垂心為H，角，角A、B、C的對邊對邊分別為別為a、b、c，p=(abc)21、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；上；鈍角三角形的角三角形的垂心在三角形外垂心在三角形外.2、三角

2、形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的是它旁心三角形的垂心；垂心；3、垂心垂心H關(guān)于三關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在稱點(diǎn)，均在△ABC的外接的外接圓上。上。4、△ABC中，有六中，有六組四點(diǎn)共四點(diǎn)共圓，有三，有三組(每組四個四個)相似的直角三相似的直角三角形，且角形，且AH?HD=BH?HE=CH?HF。5、H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三

3、點(diǎn)為頂為頂點(diǎn)的三角形的垂心點(diǎn)的三角形的垂心(并稱并稱這樣這樣的四點(diǎn)的四點(diǎn)為一—垂心垂心組)。6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接的外接圓是等是等圓。7、在非直角三角形中，在非直角三角形中，過H的直的直線交AB、AC所在直所在直線分別于P、Q，則ABAP?tanBACAQ?tanC=tanAtanBtanC。8、三角形任一三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊對邊的距離的的距離的2倍。倍。3Δy=

4、det([x3x2，(y2y3)(y3y2)x3x1，(y3y1)(y3y1)(x2x1)(x1x3)])垂心的向量特征：三角形垂心的向量特征：三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)O，向量，向量OA?OB=OB?OC=OC?OA，則點(diǎn)O是三角形的垂心是三角形的垂心證明由OA?OB=OB?OC，得，得OA?OBOC?OB=0(OAOC)?OB=0CA?OB=0，即，即OB垂直于垂直于AC邊同理由同理由OB?OC=OC?OA，可得，可得OC垂直于垂直于