三角形心的性質(zhì)及應(yīng)用

1、江山中學(xué) 2015 屆數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)平面幾何：有關(guān)三角形五心的經(jīng)典試題 平面幾何：有關(guān)三角形五心的經(jīng)典試題三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.一、外心.三角形外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例 1．過等腰△ABC 底邊 BC 上一點(diǎn) P 引 PM∥CA 交 AB 于 M；引 PN∥BA 交 AC 于 N.作點(diǎn) P 關(guān)于 MN 的對(duì)稱點(diǎn) P′.試證：P′點(diǎn)在△ABC 外接圓上.(杭州大

2、學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題》)分析：由已知可得 MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故點(diǎn) M 是△P′BP 的外心，點(diǎn)N 是△P′PC 的外心.有∠BP′P= ∠BMP= ∠BAC， 2121∠PP′C= ∠PNC= ∠BAC. 2121∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.從而，P′點(diǎn)與 A，B，C 共圓、即 P′在△ABC 外接圓上.由于 P′P 平分∠BP′C，顯然還有P′B:P′C=BP:PC.例 2．在△ABC 的邊

3、AB，BC，CA 上分別取點(diǎn) P，Q，S.證明以△APS，△BQP，△CSQ 的外心為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似.(B·波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》)分析：設(shè) O1，O2，O3 是△APS，△BQP，△CSQ 的外心，作出六邊形O1PO2QO3S 后再由外AB C PPMN'AB C QK POOO.. . . S12 3江山中學(xué) 2015 屆數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)易證 AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+

4、CC′，∴EE′=DD′+FF′.有 S△PGE=S△PGD+S△PGF.兩邊各擴(kuò)大 3 倍，有 S△PBE=S△PAD+S△PCF.例 4．如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將△ABC 簡(jiǎn)記為△，由三中線 AD，BE，CF 圍成的三角形簡(jiǎn)記為△′.G 為重心，連 DE 到 H，使 EH=DE，連 HC，HF，則△′就是△HCF.(1)a2，b2，c2 成等差數(shù)列 △∽△′.

5、 ?若△ABC 為正三角形，易證△∽△′.不妨設(shè) a≥b≥c，有CF= ， 2 2 2 2 2 21 c b a ? ?BE= ， 2 2 2 2 2 21 b a c ? ?AD= . 2 2 2 2 2 21 a c b ? ?將 a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF= ，BE= ，AD= . a 23 b 23 c 23∴CF:BE:AD = : : a 23 b 23 c 23=a:b:c.故有△∽△′.