1.2.3空間中的垂直關(guān)系1.

1、1.2.3 空間中的垂直關(guān)系(1),,一. 直線與平面垂直的定義,1． 兩直線互相垂直： 如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直。,,觀察旗桿與地面內(nèi)的每一條直線有什么關(guān)系，旗桿與地面的關(guān)系呢？,2． 直線與平面垂直： 如果一條直線（l）和一個平面（α）相交于點A，并且a和這個平面內(nèi)過點A的任何直線都垂直，則該直線垂直于這個平面，記作l⊥α，這條直線叫做平面的垂線，這個

2、平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足。,在幾何中，定義兼具兩重性，既是判定又是性質(zhì)。,判定是指：如果一條直線垂直一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么這條直線與這個平面垂直，這是判定證明直線與平面垂直的一種方法；,性質(zhì)是指：如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線。,這是在線面垂直問題中經(jīng)常要用到的一個結(jié)論。,,即,判斷正誤：如果一條直線 l 和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則直線 l和平面 α互相垂直.,二. 直線

3、與平面垂直的判定定理,1．定理：①文字語言：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直.,②圖形語言：,,③符號語言：a α，b α，a∩b=O，l⊥a，l⊥b， l⊥α.,實驗：過△ABC 的頂點A 翻折紙片，得到折痕AD ，且使折痕AD⊥BC，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC 與桌面接觸）.,證明：設(shè)m是α內(nèi)的任意一條直線．,推論1 ：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面

4、，那么另一條也垂直于這個平面．,推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 。,已知：直線l⊥平面α，直線m⊥平面α，垂足分別為a，b，求證：l//m.,證明：假設(shè)直線m與直線l不平行。過直線m與平面α的交點B作直線m’//l，,由直線與平面垂直的判定定理的推論1可知m’⊥α.,設(shè)m和m’確定的平面為β，α與β的交線為a，,因為直線m和m’都垂直于平面α，,所以 直線m和m’都垂直于交線a，,因為在同一平面內(nèi)，通過直線上一

5、點并與已知直線垂直的直線不可能有兩條，,所以直線m與m’必重合，即有l(wèi) //m.,例1．過一點和已知平面垂直的直線只有一條。,已知：平面α和一點P.求證：過點P與α垂直的直線只有一條。,證明：不論P點在α外或內(nèi)，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)，,如果過P點，除直線PA⊥α外，還有一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確定的平面為β,,且α∩β=a，,于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA，PB垂直于交線a，,這是不可能的。所以過點P與α垂直的直線

6、只有一條。,例1、有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛有一條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(和旗桿腳不在同一條直線上)C、D, 如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？,解：在△ABC和△ABD中，因為AB=8，BC=BD=6，AC=AD=10，,所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2.,AB2+BD2=82+62=102=AD2.,所以∠ABC=∠ABD=90°，,即A

7、B⊥BC，AB⊥BD，,又知B，C，D三點不共線，,因此AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直。,例3．已知：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l. 求證：AP在α內(nèi)。,證明：設(shè)AP與l 確定的平面為β，假設(shè)AP不在α內(nèi)，則設(shè)α與β相交于直線AM。,因為l⊥α，AM α,,所以l⊥AM，,又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點A有兩條直線垂直于l，這是不可能的，,所以AP一定在α內(nèi)。,直線與平面垂直的判定方法,3.如果兩

8、條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面。,1.定義：如果一條直線垂于一個平面內(nèi)的任何一條直線，則此直線垂直于這個平面.,2.判定定理:如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么此直線垂直于這個平面。,4.如果直線和平面所成的角等于90°,則這條直線和平面垂直,練習(xí)題：,1 、如果平面外的一條直線上有兩點到這個平面的距離相等，則這條直線和平面的位置關(guān)系是（ ）,A.平行 B.相交

9、 C.平行或相交,C,2、在空間，下列命題,（1）平行于同一直線的兩條直線互相平行；,（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；,（3）平行于同一平面的兩條直線互相平行；,（4）垂直于同一平面的兩條直線互相平行。,正確的是（ ）,A. (1)(3)(4) B. (1)(4) C. (1) D.四個命題都正確。,B,3． 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D