2018屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 空間中的垂直關(guān)系課件 新人教b版

1、考點1,考點2,考點3,考點4,返回目錄,考 綱 解 讀,考 向 預(yù) 測,1.在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查線面垂直、面面垂直關(guān)系以及邏輯推理能力. 2.考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、計算空間想像能力和推理論證能力。 3.近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說明高考對學(xué)生的能力要求越來越高，這也符合新課標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過程中要善于對問題進(jìn)行探究.立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計開放型

2、試題將是新課標(biāo)高考命題的一個熱點考向.,返回目錄,返回目錄,1.空間任意兩條直線互相垂直的一般定義如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為 ，則稱這兩條直線互相垂直.,直角,返回目錄,2.直線與平面垂直（1）空間直線與平面垂直的定義如果一條直線（AB）和一個平面（α）相交于點O，并且和

3、 ，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記作 ，這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足.垂線上任意一點到垂足間的線段叫做這個點到這個平面的垂線段. 叫做這個點到平面的距離 .（2）直線與平面垂直的判定定理定理 如果

4、 ，則這條直線與這個平面垂直. 推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么 .,這個平

5、面內(nèi)過交點（O）的任何直線都垂直,AB⊥α,垂線段的長度,一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,另一條直線也垂直于這個平面,返回目錄,（3）直線與平面垂直的性質(zhì)定理①如果兩條直線垂直于同一個平面，那么 .②一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的 .3.平面與平面垂直（1）定義如果兩個相交平面的交

6、線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線 ，就稱這兩個平面互相垂直.平面α，β互相垂直，記作 .,這兩條直線平行,任何一條直線都垂直,互相垂直,α⊥β,返回目錄,（2）平面與平面垂直的判定定理如果 ，

7、則兩個平面互相垂直.（3）平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么 .,在一個平面內(nèi)垂直于它們交,一個平面過另一個平面的一條垂線,,線的直線垂直于另一個平面,返回目錄,如圖,AB為圓O的直徑,C為圓周上異于AB的任一點,PA⊥面ABC,問:圖中共有多少個Rt△?,【分析】找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直.,考點1

8、 線線垂直問題,返回目錄,【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故圖中有四個直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.,返回目錄,線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線和平面垂直,這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線,這是尋找線線垂直的重要依據(jù).,如圖,已知矩形ABCD

9、,過A作SA⊥平面AC,再過A作AE⊥SB交SB于E,過E作EF⊥SC交SC于F.(1)求證:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求證:AG⊥SD.,返回目錄,證明: (1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四邊形ABCD為矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,∴

10、SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.,返回目錄,返回目錄,如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點.（1）求證：MN⊥CD；（2）若∠PDA= ，求證：MN ⊥ 平面PCD.,考點2 線面垂直,【分析】（1）因M為AB中點，只要證△ANB為等腰三角形，則利

11、用等腰三角形的性質(zhì)可得MN⊥AB. （2）已知MN⊥CD，只需再證MN⊥PC，易看出△PMC為等腰三角形，利用N為PC的中點，可得MN⊥PC.,返回目錄,【證明】 (1)如圖,連接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N為PC中點，∴AN= PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB， PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，從而在Rt△P

12、BC中，BN為斜邊PC上的中線，∴BN= PC.∴AN=BN,∴△ABN為等腰三角形,又M為底邊的中點,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.,(2)連接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M(jìn)為AB的中點，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N為PC的中點，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥C

13、D，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.,返回目錄,垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來.,返回目錄,返回目錄,如圖所示,Rt△ABC的斜邊為AB，過A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：PB⊥平面AEF.,證明：AP⊥平面ABCAP⊥BCBC⊥AC

14、 AP∩CA=A AF⊥PC AE⊥PB BC⊥AF AF⊥面PBC AF⊥PB BC∩PC=C AF∩AE=A,返回目錄,BC⊥面APC,AF面APC,PB⊥面AEF.,考點

15、3 面面垂直,返回目錄,［2009年高考山東卷］如圖7-5-6，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，圖AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD,AA1的中點.（1）設(shè)F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1;（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.,【證明】（1）證法一：取A1B1的中點為F1.連結(jié)FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,

16、所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即為平面C1CFF1.連結(jié)A1D,F1C, 由于A1F1 D1C1 CD,所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.而EE1平面FCC1，F(xiàn)1C平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.,返回目錄,【分析】證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面平行，故由條件尋求轉(zhuǎn)化的關(guān)系；而證明面面垂直，一般用判定定理證明.,,證法二：

17、因為F為AB的中點，CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CD AF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1平面 FCC1,AD∩DD1=D,AD平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.故平面D1AC⊥平面BB1C1C.,返回目錄,(2)連結(jié)A

18、C，在△FBC中，F(xiàn)C=BC=FB,又F為AB的中點，所以AF=FC=FB.因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.而AC平面D1AC,故平面D1AC⊥平面BB1C1C.,返回目錄,返回目錄,證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線與添加輔助線解決.

19、,返回目錄,如圖,△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC且EC=CA=2BD,M為EA中點.求證：（1）平面BDM⊥平面ACE；（2）平面DEA⊥平面ECA.,返回目錄,【證明】 (1)取CA中點N，連結(jié)MN,BN，在△ACE中，M,N分別為AE,AC中點，∴MN∥EC，MN= EC.而BD∥EC，BD= EC,∴BD ∥ MN,∴B,D,M,N四點共面.∵EC⊥平面ABC，BN平面ABC，∴EC⊥B

20、N.又∵BN⊥AC，BN⊥EC，AC∩EC=C,∴BN⊥面ECA.又BN面BMD，∴平面BMD⊥平面ACE.,返回目錄,(2)∵DM∥BN，BN⊥平面ACE,∴DM⊥平面ACE.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ACE.,返回目錄,［2009年高考北京卷］如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上，且DE∥BC.(1)求

21、證：BC⊥平面PAC;(2)當(dāng)D為PB的中點時，求 AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點E使得二面角A—DE—P 為直二面角？并說明理由.,考點4 線面角與二面角,返回目錄,【分析】（1）由PA⊥平面ABC,∠BCA=90&#

22、176;易證得.（2）作出∠DAE，解直角三角形.（3）先證∠AEP為二面角A—DE—P的平面角再探求.,【解析】（1）證明：∵PA⊥底面ＡＢＣ，∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.,返回目錄,(2)∵D為PB的中點，DE∥BC,∴DE= BC.又由（1）知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足為點E，∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角.∵

23、PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB.又PA=AB,∴△ABP為等腰直角三角形，∴AD= AB.,返回目錄,在Rt△ABC中，∠ABC=60°,∴BC= AB,∴在Rt△ADE中，sin∠DAE= .∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為 .,返回目錄,(3)∵DE∥BC,又由（1）知，BC⊥平面PAC,∴DE⊥平

24、面PAC.又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC.這時，∠AEP=90°.故存在點E使得二面角A—DE—P是直二面角.,返回目錄,（1）求直線和平面所成的角時,應(yīng)注意的問題是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系.(2)當(dāng)直線和平面斜交時,常用以下步驟

25、:①構(gòu)造——作出或找到斜線與射影所成的角;②設(shè)定——論證所作或找到的角為所求的角;③計算——常用解三角形的方法求角;④結(jié)論——點明斜線和平面所成的角的值.（2）求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此題是利用二面角的平面角的定義作出∠CDC′為二面角A—BD—C的平面角,通過解∠CDC′所在的三角形求得∠CDC′.其解題過程為:作∠CDC′→證∠CDC′是二面角的平面角→計算∠CDC′,簡記為“作、證、算”.,返回目錄,如圖所示，

26、PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N分別是AB，PC的中點.（1）求平面PCD與平面ABCD 所成的二面角的大小；（2）求證：平面MND⊥平面PCD.,返回目錄,【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD,∴PD⊥CD.故∠PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD,∴∠PDA=45°.,返回目錄,（2）證明:如圖，取PD中點E，連結(jié)EN，EA