2014數(shù)理統(tǒng)計1.1

1、應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計,郭玲,guoling @mail.buct.edu.cn,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 盛驟 (浙江大學(xué)) 浙大第四版(高等教育出版社),第 一 章 統(tǒng)計推斷準(zhǔn)備 （7）,第 二 章 參數(shù)估計 （10）,第 三 章 假設(shè)檢驗(yàn) (10),第 五 章 方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計 （3）,第 四 章 回歸分析 （8）,課程安排,（40學(xué)時）,,,,機(jī)動 （2）,第 一 章 統(tǒng)計推斷準(zhǔn)備,一些基本概念,抽

2、樣分布,總體分布的近似描述,分位數(shù),,,,1.1 一些基本概念,收集數(shù)據(jù),數(shù)理統(tǒng)計是關(guān)于數(shù)據(jù)資料的收集、整理、分析和推斷的一門學(xué)科.,抽樣（對社會科學(xué)）,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（對自然科學(xué)）,統(tǒng)計推斷,估計,檢驗(yàn),事先設(shè)計,統(tǒng)計推斷,估計,檢驗(yàn),參數(shù),非參數(shù),點(diǎn)估計,區(qū)間估計,參數(shù),非參數(shù),一.總體,研究對象的全體稱為總體(母體)，,組成總體的每個成員稱為個體.,總體,通常指研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo),由于每個個體的出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)的出現(xiàn)

3、也帶有隨機(jī)性. 從而可以把這種數(shù)量指標(biāo)看作一個隨機(jī)變量，因此隨機(jī)變量的分布就是該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布.,這樣，總體就可以用一個隨機(jī)變量及其分布來描述.,從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布。,例如:研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.,某批燈泡的壽命,總體,,壽命X可用一概率分布來刻劃,鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體.

4、 如說總體X或總體F(x) .,樣本：來自總體的部分個體X1， … ，Xn,二. 樣本,樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.,但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(shù) (X1,X2,…,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值 .,樣本是隨機(jī)變量.,抽到哪5輛是隨機(jī)的,容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量.,2. 獨(dú)立性： X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.,最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機(jī)抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下

5、面兩點(diǎn):,1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布.,由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn表示.,若（X1,X2,…,Xn)是來自具有分布函數(shù)F(X)的總體X的樣本，則（X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為 又若總體具有概率密度函數(shù)f(x)，則（X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,若總體X離散型隨

6、機(jī)變量,則樣本（X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布列為,三、 統(tǒng)計量,定義（1.1.3）不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量.,幾個常見統(tǒng)計量,樣本均值,樣本方差,它反映了總體均值的信息,它反映了總體方差的信息,樣本k階原點(diǎn)矩,樣本k階中心矩,k=1,2,…,它反映了總體k 階矩的信息,它反映了總體k 階中心矩的信息,順序統(tǒng)計量,樣本值按小到大的排列為樣本（X1,X2,…,Xn)的順序統(tǒng)計量，記為稱

7、 為最小順序統(tǒng)計量稱 為最大順序統(tǒng)計量,樣本中位數(shù),為樣本中位數(shù)稱R=X(n)-X(1)為樣本極差,1.2 抽樣分布,統(tǒng)計量的分布，叫做 “抽樣分布” .,常用的抽樣分布有“正態(tài)分布”，,t 分布,F分布,一、 正態(tài)分布,,高斯資料,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)記為,二、統(tǒng)計三大分布,,,記為,定義: 設(shè)

8、 相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布N(0,1), 則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為 n 的 分布.,分布的密度函數(shù)為,,,,由 分布的定義，不難得到：,,2. 設(shè)

9、 且X1,X2相互獨(dú)立，則,這個性質(zhì)叫 分布的可加性.,,,應(yīng)用中心極限定理可得，若,的分布近似正態(tài)分布N(0,1).,則可以求得， E(X)=n, D(X)=2n,若,T的密度函數(shù)為：,,,記為T～t(n).,2、t 分布,具有自由度為n的t分布的隨機(jī)變量T的數(shù)學(xué)期望和方差為: E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 對n >2,,當(dāng)n充分大時，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的

10、圖形.,t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對稱，且,不難看到，當(dāng)n充分大時，t 分布近似N (0,1)分布. 但對于較小的n，t分布與N (0,1)分布相差很大.,,,由定義可見，,,3、F分布,,~F(n2,n1),,,即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.,,,X的數(shù)學(xué)期望為:,,若n2>2,若X~F(n1,n2)， X的概率密度為,請看演示,F分布,統(tǒng)計三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記??！,,在概率統(tǒng)計中

11、，正態(tài)分布占據(jù)著十分重要的位置（1）在理論上正態(tài)分布有許多優(yōu)良的性質(zhì)，便于進(jìn)行深入的理論研究；（2）在應(yīng)用中許多隨機(jī)變量的分布或是正態(tài)分布，或是近似于正態(tài)分布。,三、正態(tài)總體的抽樣分布,定理 1.2.2 (樣本均值的分布),n取不同值時樣本均值 的分布,定理 2 (樣本方差的分布),n取不同值時 的分布,定理 3,,定理 4 (兩總體樣本的分布),推論 定理4中，假定