數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學畢業(yè)論文關(guān)于最小多項式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用

1、關(guān)于最小多項式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用關(guān)于最小多項式的性質(zhì)研究及其應(yīng)用何小燕何小燕摘要本文利用矩陣多項式討論了最小多項式的某些性質(zhì)，得到計算最小多項式的一種可行方法，并以最小多項式為工具解決一些有關(guān)矩陣和線性變換的問題，其方法簡單易懂.關(guān)鍵詞最小多項式零化多項式矩陣函數(shù)矩陣多項式0引言矩陣的最小多項式在矩陣相似、若當標準型、矩陣函數(shù)和矩陣方程中都有很重要的應(yīng)用，于是最小多項式的性質(zhì)也極其重要，但在文獻[4]中，對最小多項式的性質(zhì)討論較少，對它

2、的應(yīng)用也較少的介紹，丘維聲在文獻[1]中討論了線性變換的最小多項式及應(yīng)用，而史榮昌、魏豐編在文獻[2]中討論的是在復數(shù)域上矩陣最小多項式的性質(zhì)，這些文獻都只討論了最小多項式的一小部分性質(zhì)，對它的應(yīng)用也是較為模糊.為了更好的理解最小多項式以及它的應(yīng)用，本文較系統(tǒng)的討論了矩陣的最小多項式在數(shù)域F上的一些性質(zhì)，并將它在矩陣對角化及矩陣函數(shù)方面的應(yīng)用例舉出來，具有很好的使用性，且使它的性質(zhì)及應(yīng)用更加易懂而明了.本文約定，以下討論的矩陣A都是數(shù)域

3、上的n階矩陣.nnF?1預(yù)備知識預(yù)備知識在文獻[1]中定義了域F上線性空間V的一個線性變換的最小多項式，它是線性變換A的所有零化多項式中次數(shù)最低且首相系數(shù)為1的那個零化多項式是線性變換的最小多AA項式，記為.??m?定理定理線性空間V上的線性變換的最小多項式是唯一的.[1]1A定理定理設(shè)是域F上線性空間V的線性變換，中的多項式是A的零化[1]2A??F???g?多項式當且僅當是的最小多項式的倍式.??g?A??m?定理定理設(shè)是域F上有線

4、維線性空間V上的線性變換，則的最小多項式與[1]3AA??m?特征在F中有相同的根（重數(shù)可以不同）.??f?引理引理1是維線性空間V上的線性變換.An(1)若在V的某基下的矩陣是某多項式的伴侶陣，則的最小多項式是AA??d?A；??d?(2)設(shè)的最高次的不變因子是，則的最小多項式是.A??d?A??d?2最小多項式的定義及其性質(zhì)最小多項式的定義及其性質(zhì)由上述線性變換最小多項式的定義及性質(zhì)可以類似的定義矩陣A的最小多項式，為了引出矩陣A的

5、最小多項式的定義，首先給出數(shù)域上矩陣A的多項式定義.nnF?證明：設(shè)是A的最小多項式，則??m???????????120smAdiagmAmAmA???于是，即是的零化多項式，因此??????1200smAmAmA?????m?12sAAA?是的公倍式.??m???????12smmm????另一方面，若是的最小公倍式，則，若??m???????12smmm??????0mA?不是的公倍式，則.證畢??m???????12smmm??

6、????0mA?引理引理5級若爾當塊ik11iiiiiikkJ???????????????????的最小多項式是.??ikix??定理定理7矩陣的最后一個不變因子即為其最小多項式.推論推論1域F上n階矩陣A的最小多項式與A的特征多項式在F中有相??m???f?同的根（重數(shù)可以不同）.注：雖然，最小多項式和特征多項式的根相同，但由于重數(shù)不一定相同，所以最小多項式不一定就是特征多項式推論推論2設(shè)A是域F上的階矩陣，域E包含F(xiàn).則A的最小多

7、項式與A的特證n??m?多項式在E中有相同的根（重數(shù)可以不同）.??f?推論推論3設(shè)A是F域上的矩陣，域E包含域F，則如果是F域上的矩陣A的最??m?小多項式，那么把A看成E域上的矩陣，它的最小多項式仍然是.??m?引理引理6設(shè)A是上的n階矩陣.nnF?(6)若矩陣A是某多項式的伴侶陣，則A的最小多項式是；??d???d?(7)設(shè)A的最高次的不變因子是，則A的最小多項式是.??d???d?證明：(6)設(shè)??111nnnndaaa????