數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2等價(jià)無(wú)窮小量的概念及其重要性質(zhì)1</p><p>　　2.1 等價(jià)無(wú)窮小量的概念1</p><p>　　2.2等價(jià)無(wú)窮小量的重要性質(zhì)2</p><p&g

2、t;　　2.3等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的推廣2</p><p>　　3等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用5</p><p>　　3.1求函數(shù)的極限5</p><p>　　3.2等價(jià)無(wú)窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用6</p><p>　　3.3利用等價(jià)無(wú)窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限6</p><p>　　3.4 等價(jià)無(wú)窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的

3、應(yīng)用7</p><p>　　4等價(jià)無(wú)窮小量的優(yōu)勢(shì)8</p><p>　　4. 1運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢(shì)…………………………………………....................8</p><p>　　4. 2 等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)………………………………………...............9</p><p><

4、;b>　　5結(jié) 論12</b></p><p>　　參 考 文 獻(xiàn)13</p><p><b>　　致 謝14</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　等價(jià)無(wú)窮小量概念是微積分理論中最基本的概念之一,但在微積分理論中等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)僅僅在

5、“無(wú)窮小的比較”中出現(xiàn)過(guò),其他地方似乎都未涉及到.其實(shí),在判斷廣義積分、級(jí)數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運(yùn)算過(guò)程中,無(wú)窮小具有很好的性質(zhì),掌握并充分利用好它的性質(zhì),往往會(huì)使一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,可起到事半功倍的效果,反之,則會(huì)錯(cuò)誤百出,有時(shí)還很難判斷錯(cuò)在什么地方.因此,有必要對(duì)等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)進(jìn)行深刻地認(rèn)識(shí)和理解,以便恰當(dāng)運(yùn)用,達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.</p><p>　　2等價(jià)無(wú)窮小量的概念及其重要性質(zhì)</p

6、><p>　　這部分在同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的«高等數(shù)學(xué)»、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的«數(shù)學(xué)分析»、馬振明老師和呂克噗老師的«微分習(xí)題類型分析»、張?jiān)葡祭蠋煹?#171;高等數(shù)學(xué)教學(xué)»以及Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digita

7、l goods [J]. Journal of Computer Research and Development中做了詳細(xì)的講解,下面是我對(duì)這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書(shū)中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識(shí)以及數(shù)學(xué)方法我對(duì)其進(jìn)行了證明.</p><p>　　2.1 等價(jià)無(wú)窮小量的概念</p><p>　　定義 若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過(guò)程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小量

8、. 如函數(shù), sinx, 1- cosx, ln(1+x)均為當(dāng)x→0 時(shí)的無(wú)窮小量.對(duì)于數(shù)列只有一種情形, 即n→∞, 如數(shù)列{ } 為n→∞時(shí)的無(wú)窮小量或稱為無(wú)窮小數(shù)列.</p><p><b>　　注意：</b></p><p>　　1) 絕對(duì)值非常小的數(shù)不是無(wú)窮小量, 0 是唯一的是無(wú)窮小量的數(shù); 無(wú)窮小量無(wú)限趨近于0 而又不等于0.</p>&

9、lt;p>　　2) 無(wú)窮小量是變量, 與它的變化過(guò)程密切相關(guān),且在該變化過(guò)程中以零為極限. 如函數(shù) 當(dāng)x ∞時(shí)的無(wú)窮小量,但當(dāng)x1時(shí)不是無(wú)窮小量.</p><p>　　3）兩個(gè)（相同類型）無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量.</p><p>　　4）無(wú)窮小量與有界量的乘積為無(wú)窮小量.</p><p><b>　　無(wú)窮小量的比較</b><

10、;/p><p>　　1) 若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當(dāng)時(shí)的同階無(wú)窮小量.特別當(dāng) 則稱與是同階無(wú)窮小.</p><p>　　2) 若=1, 則稱與是等價(jià)無(wú)窮小量, 記為～.</p><p>　　3) 若= 0, 則稱是高階無(wú)窮小, 記作=.</p><p>　　注: 并不是任意兩個(gè)無(wú)窮小均可比較, 如當(dāng)x→0 時(shí),與 都是無(wú)窮小量,

11、但它們不能進(jìn)行階的比較.</p><p>　　等價(jià)無(wú)窮小量的重要性質(zhì)</p><p>　　設(shè)α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小, </p><p>　　若α～α′,β～β′, 且lim 存在,則</p><p>　　lim=lim （）</p><p>　　若α～β,β～γ,則α～γ.</

12、p><p>　　性質(zhì)①表明等價(jià)無(wú)窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)②表明等價(jià)無(wú)窮小量的傳遞性.</p><p>　　2.3等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的推廣</p><p>　　α～α′,β～β′, 且lim=c(≠-1),則α+β～α′+β′.</p><p><b>　　證明 因?yàn)?lt;/b></p><p><

13、;b>　　lim=</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　α+β～α′+β′.</p><p>　　而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)im=c(≠-1)”這個(gè)條件,千篇一律認(rèn)為“α～α′,β～β′,則有α+β～α′+β′</p><p>　　在同一變化過(guò)程中,～,

14、 ～,且存在,則</p><p><b>　　=.</b></p><p><b>　　證明 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=.

15、</b></p><p><b>　　故結(jié)論得證.</b></p><p>　　若α～α′,β～β′, 且lim′存在,則當(dāng)≠0且 lim存在,有</p><p><b>　　lim=lim′.</b></p><p><b>　　證明 因?yàn)?lt;/b></p&

16、gt;<p><b>　　,</b></p><p>　　又α～α′,β～β′,于是,</p><p><b>　　,,</b></p><p><b>　　從而 </b></p><p><b>　　=1,</b></p>&

17、lt;p><b>　　即</b></p><p><b>　　～</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p><b>　　～.</b></p><p><b>　　故命題得證.</b></p>

18、;<p>　　設(shè)在自變量的某一變化過(guò)程中, 、、及、、都是無(wú)窮小量.</p><p>　?、偃簟?、～、且存在且,則有</p><p><b>　　～.</b></p><p>　　②若～、～、且存在且,則有</p><p><b>　　～.</b></p><p&g

19、t;　?、廴簟?、～、～且存在且,則有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　證明 ①因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　==.</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p>

20、;<b>　　,</b></p><p><b>　　故上式等于1.</b></p><p><b>　　②因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　==.</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p>&

21、lt;p><b>　　,</b></p><p><b>　　故上式等于1.</b></p><p>　　③要證成立,只需證,因?yàn)?lt;/p><p><b>　　～,～,</b></p><p><b>　　所以結(jié)論得證.</b></p>

22、<p>　　性質(zhì)（1）、（3）的求極限中就使等價(jià)無(wú)窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡(jiǎn)化了計(jì)算.但要注意條件“l(fā)im =c(≠-1)”,“ ≠0”的使用.</p><p>　　注意 1）需要注意的是在運(yùn)用無(wú)窮小替換解題時(shí),等價(jià)無(wú)窮小量一般只能在對(duì)積商的某一項(xiàng)做替換,和差的替換是不行的.</p><p>　　2）以上性質(zhì)說(shuō)明我們利用無(wú)窮小量的代換性質(zhì)將無(wú)窮小的等價(jià)替換推廣到和與差

23、的形式,并對(duì)的不定式極限的求解作了簡(jiǎn)化,使其適用的函數(shù)類范圍擴(kuò)大,從而簡(jiǎn)化函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程,對(duì)不定式極限的求解有很大的意義.</p><p>　　3等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用</p><p>　　等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用在馮錄祥老師的«關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量量代換的一個(gè)注記»、王斌老師的«用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討»、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的«數(shù)學(xué)分

24、析»、盛祥耀老師的«高等數(shù)學(xué)»、馬振明老師和呂克噗老師的«微分習(xí)題類型分析»、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Li

25、braries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及劉玉璉老師和傅沛仁老師的«數(shù)學(xué)分析講義»中都有詳細(xì)的分析與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容,再加上自己篩選例題解答例題寫(xiě)出來(lái)的.請(qǐng)看下面的內(nèi)容：</p><p><b>　　求函數(shù)的極限</b></p><p>　　在求極限中經(jīng)常用到的等價(jià)無(wú)窮小量有～～～～

26、～～-1,   ～,  ～,( →0).</p><p><b>　　例1  求.</b></p><p>　　解 當(dāng)→0時(shí),～,～.</p><p>　　原式= = ..</p><p><b>　　例2  求.</b></p>

27、<p>　　解 原式= = (∵～,～)= .</p><p>　　此題也可用洛必達(dá)法則做,但不能用性質(zhì)②做.</p><p>　　所以,==0,不滿足性質(zhì)②的條件,否則得出錯(cuò)誤結(jié)論0.</p><p>　　等價(jià)無(wú)窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用</p><p><b>　　如：</b></p>

28、<p><b>　　例3 </b></p><p><b>　　解 因?yàn)闀r(shí),</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p&

29、gt;<p><b>　　故 </b></p><p>　　利用等價(jià)無(wú)窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限</p><p><b>　　例4 求極限</b></p><p>　　解 由于函數(shù)的分母中～（0）,因此只需將函數(shù)分子中的與分母中的cosx和分別用佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式表示,即：</p><

30、;p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p&g

31、t;　　例5 由拉格朗日中值定理,對(duì)任意的＞-1,存在,使得.證明.</p><p><b>　　解 因</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以,根據(jù)題設(shè)所給條件有</p><p><b>　　即</b></p><p&

32、gt;<b>　　,</b></p><p><b>　　所以,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　以上例子能使我們更加深刻的理解無(wú)窮小與無(wú)窮小或函數(shù)與無(wú)窮小的相關(guān)運(yùn)算,能更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運(yùn)用.</p><p>　　等價(jià)無(wú)

33、窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用</p><p>　　在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判別法中,用得比較多的是比較審斂法的極限形式,它也是無(wú)窮小的一個(gè)應(yīng)用.比較審斂法的極限形式：設(shè)和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),</p><p>　?、?如果=l(0≤l<+∞) ,且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)收斂.</p><p>　?、?如果=l>0 或l=+∞,且級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)發(fā)散.</p>

34、<p>　　當(dāng)①=1時(shí),∑,∑就是等價(jià)無(wú)窮小量.由比較審斂法的極限形式知,∑與∑同斂散性,只要已知∑un,∑中某一個(gè)的斂散性,就可以找到另一個(gè)的斂散性.</p><p><b>　　例6 </b></p><p><b>　　解 .</b></p><p><b>　　,所以,收斂.</b>

35、</p><p><b>　　例7 研究的斂散性</b></p><p><b>　　解 ∵=  =1 </b></p><p><b>　　而∑發(fā)散, </b></p><p><b>　　∴發(fā)散.</b></p>&l

36、t;p>　　從以上的例題可以看出,在級(jí)數(shù)斂散性的判別中,等價(jià)無(wú)窮小量發(fā)揮了重要的作用.在很多題目中,我們需要綜合運(yùn)用羅比達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)、泰勒級(jí)數(shù)等相關(guān)知識(shí),才能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.</p><p>　　4等價(jià)無(wú)窮小量的優(yōu)勢(shì)</p><p>　　這一部分的內(nèi)容是我在聽(tīng)了鄭老師和郭老師的數(shù)學(xué)分析課以后,由于他們教學(xué)方法的鮮明對(duì)比而深受啟發(fā),在他們講解數(shù)學(xué)分析其他部分的比較與分

37、析時(shí),我也希望自己能找到一個(gè)他們沒(méi)有整理過(guò)的知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)自己的努力完成對(duì)它的比較與分析,因此我選擇了這一部分內(nèi)容.請(qǐng)看下面的內(nèi)容：</p><p>　　4.1運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢(shì)</p><p><b>　　例8 求</b></p><p>　　解 解法一（等價(jià)無(wú)窮小量替換）：</p><p>　　,由無(wú)

38、窮小替換定理有：=.</p><p>　　解法二（兩個(gè)重要極限）：由于</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　=.</b></p><p>　　解法三（洛必達(dá)法則）：</p><p><b>　　=.</b></p&g

39、t;<p>　　由此例可以發(fā)現(xiàn),很多時(shí)候求解函數(shù)極限的方法多種多樣.其中包括極限的運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、洛必達(dá)法則以及無(wú)窮小替換等等.所以我們求解一道題時(shí)要進(jìn)行全方位、多角度的思考,找出最適合、最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.對(duì)上例的幾種不同解法進(jìn)行比較,我們很容易地發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)利用無(wú)窮小替換能夠快速、準(zhǔn)確地求解一些函數(shù)極限.</p><p><b>　　例9  求</b></

40、p><p>　　解法一（等價(jià)無(wú)窮小量替換）：由于當(dāng)x→-∞ 時(shí),有,,則由無(wú)窮小替換定理有</p><p><b>　　：=.</b></p><p>　　解法二（洛必達(dá)法則）：</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　我們知道通常碰到求解未定式極限的問(wèn)題時(shí)

41、,大家總是習(xí)慣使用洛必達(dá)法則.但是由此例看求解上述極限時(shí),很顯然利用等價(jià)無(wú)窮小量替換更簡(jiǎn)單、便捷.另外,值得注意的是對(duì)本例在使用洛必達(dá)法則計(jì)算時(shí),如果不把寫(xiě)到分母上,而是繼續(xù)使用洛必達(dá)法則,就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)計(jì)算,將永遠(yuǎn)得不到結(jié)果.由此更能體現(xiàn)等價(jià)無(wú)窮小量替換的重要性.同時(shí)本例還說(shuō)明不僅是在極限存在時(shí)而且在極限為無(wú)窮大時(shí)同樣都可以使用等價(jià)無(wú)窮小量替換.</p><p>　　4.2 等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)&

42、lt;/p><p>　　如果直接使用洛比達(dá)法則,而,分母上的求導(dǎo)運(yùn)算將越來(lái)越復(fù)雜.若對(duì)上式中分母上的無(wú)窮小量用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換,便可將上式化為較為簡(jiǎn)單的式子,雖然讓使用洛比達(dá)法則,但是其運(yùn)算過(guò)程就變的很簡(jiǎn)單了.請(qǐng)看下面的例題：</p><p><b>　　例10 </b></p><p>　　解 原式=  （用羅比塔法則）&

43、lt;/p><p>　　=（分離非零極限乘積因子并算出非零極限）</p><p>　　= （用羅比塔法則）</p><p><b>　　= .</b></p><p>　　出現(xiàn)循環(huán),此時(shí)用羅比塔法則求不出結(jié)果.怎么辦？用等價(jià)無(wú)窮小量代換.</p><p><b>　　因?yàn)?/p>

44、</b></p><p>　　x～sinx～tanx(x→0)</p><p>　　所以,原式= =1而得解.</p><p><b>　　例11 求</b></p><p><b>　　解 原式= </b></p><p><b>　?。ā摺?/p>

45、）.</b></p><p>　　若使用洛必達(dá)法則可知原式==繼續(xù)運(yùn)用洛必達(dá)法則會(huì)將上式越變?cè)綇?fù)雜,難于求出最后的結(jié)果.而通過(guò)運(yùn)用無(wú)窮小的等價(jià)替換,將分母替換成,又將分子分解因式后進(jìn)行等價(jià)替換,從而很快地求出正確結(jié)果,由此可以看出單單運(yùn)用洛必達(dá)法則有時(shí)并不能達(dá)到較好的效果,適時(shí)地運(yùn)用等價(jià)替換可以簡(jiǎn)化替換.</p><p>　　通過(guò)上面的兩個(gè)例子可看到洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的,也不

46、一定是最佳的,它的使用具有局限性,只要充分地掌握好等價(jià)無(wú)窮小量的4條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論.</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　極限計(jì)算是《微積分理論》中的一個(gè)重要內(nèi)容,等價(jià)無(wú)窮小量代換又是極限運(yùn)算中的一個(gè)重要的方法.利用等價(jià)無(wú)窮小量代換計(jì)算極限,主要是指在求解有關(guān)無(wú)窮小的極限問(wèn)題時(shí)利用等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)、定理施行的等價(jià)無(wú)窮小量替換的計(jì)

47、算方法,通常與洛必達(dá)法則一起使用,目的是使解題步驟簡(jiǎn)化,減少運(yùn)算錯(cuò)誤.進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小量代換的原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M(jìn)行代換.即在等價(jià)無(wú)窮小量的代換中,可以分子分母同時(shí)進(jìn)行代換,也可以只對(duì)分子（或分母）進(jìn)行代換.當(dāng)分子或分母為和式時(shí),通常不能將和式中的某一項(xiàng)以等價(jià)無(wú)窮小量替換,而應(yīng)將和式作為一個(gè)整體、一個(gè)因子進(jìn)行代換,即必須是整體代換；當(dāng)分子或分母為幾個(gè)因子相乘積時(shí),則可以只對(duì)其中某些因子進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小量代換．簡(jiǎn)言之,只有因子才可以

48、進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小量替換.</p><p><b>　　參 考 文 獻(xiàn)</b></p><p>　　[ 1 ]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,主編.高等數(shù)學(xué).第5版[M].高等教育出版社,2002,7 56～59.</p><p>　　[ 2 ]楊文泰,等.價(jià)無(wú)窮小量代換定理的推廣[J].甘肅高師學(xué)報(bào),2005,10（2）：11～13.</p&

49、gt;<p>　　[ 3 ] 王斌.用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討[J].黔西南民族師專學(xué)報(bào),2001.</p><p>　　[ 4 ] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[ 5 ] 盛祥耀. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.</p><p>　　[ 6 ]

50、馮錄祥. 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量量代換的一個(gè)注記[J]. 伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2006( 3) : 25- 26.</p><p>　　[ 7 ] 段麗凌,楊賀菊. 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量替換的幾點(diǎn)推廣.[ J ]. 河北自學(xué)考試, 2007, (06).</p><p>　　[ 8 ] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[ M] .（第三版）北京：高等教育出版社,2004.62.</p>

51、;<p>　　[ 9 ] 馬振明,呂克噗.微分習(xí)題類型分析[ M ] .蘭州：蘭州大學(xué)出版社,1999.59,45-65.</p><p>　　[10] 崔克儉,應(yīng)用數(shù)學(xué)[ M ],北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社,2004.</p><p>　　[11] 張?jiān)葡? 高等數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 山西財(cái)政稅務(wù)?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) , 2001.04.</p><p>　　[12]

52、 任治奇 , 梅胤勝.數(shù)學(xué)分析[M]. 渝西學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版) , 1998.02</p><p>　　[13] 劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：人民教育出版社,2000.</p><p>　　[14] Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital g

53、oods [J]. Journal of Computer Research and Development , 2001, 38(1): 121- 125.</p><p>　　[15] Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conf

54、erence in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n], 1995: 9- 17.</p><p>　　[16] Shivakumar N, G.Molina H. Building a Scalable and Accurate Copy Detection Mechanism [A]. The 1st AC

55、M Conference on Digital Libraries[C]. USA Bethesada Maryland: [s. n], 1996: 34- 41.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　走的最快的總是時(shí)間,來(lái)不及感嘆,大學(xué)生活已近尾聲,四年多的努力與付出,隨著本次論文的完成,將要?jiǎng)澫峦昝赖木涮?hào).</p>&

56、lt;p>　　本論文設(shè)計(jì)在**老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下業(yè)已完成,從課題選擇到具體的寫(xiě)作過(guò)程,論文初稿與定稿無(wú)不凝聚著**老師的心血和汗水,在我的畢業(yè)設(shè)計(jì)期間,**老師為我提供了種種專業(yè)知識(shí)上的指導(dǎo)和一些富于創(chuàng)造性的建議,*老師一絲不茍的作風(fēng),嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度使我深受感動(dòng),沒(méi)有這樣的幫助和關(guān)懷和熏陶,我不會(huì)這么順利的完成畢業(yè)設(shè)計(jì).在此向王廣蘭老師表示深深的感謝和崇高的敬意！</p><p>　　在臨近畢業(yè)之際

57、,我還要借此機(jī)會(huì)向在這四年中給予我諸多教誨和幫助的各位老師表示由衷的謝意,感謝他們四年來(lái)的辛勤栽培.不積跬步何以至千里,各位任課老師認(rèn)真負(fù)責(zé),在他們的悉心幫助和支持下,我能夠很好的掌握和運(yùn)用專業(yè)知識(shí),并在設(shè)計(jì)中得以體現(xiàn),順利完成畢業(yè)論文.</p><p>　　同時(shí),在論文寫(xiě)作過(guò)程中,我還參考了有關(guān)的書(shū)籍和論文,在這里一并向有關(guān)的作者表示謝意.</p><p>　　我還要感謝同組的各位同學(xué)以