不可約多項(xiàng)式的判定及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　不可約多項(xiàng)式的判定及應(yīng)用</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)的重要組成部分，而不可約多項(xiàng)式是多項(xiàng)式中重要的概念. 本文主要對(duì)有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判別方法進(jìn)行整理歸納, 較為系統(tǒng)的給出不可約多項(xiàng)式的判定方法。對(duì)于一般的不可約多項(xiàng)式的判定有Eisenstein判別法、Kronecker判別法、Pe

2、rron判別法、Browm判別法等。研究了各判定方法的等價(jià)和包含關(guān)系。此外，我們還給出了不可約多項(xiàng)式的一些應(yīng)用。</p><p><b>　　關(guān)鍵詞</b></p><p>　　不可約多項(xiàng)式；判定方法；應(yīng)用</p><p>　　Judgment and Application of Irreducible Polynomials</p&g

3、t;<p><b>　　Abstract</b></p><p>　　The theory of polynomial is an important portion of advanced algebra. Irreducible polynomial is an important class of polynomials. We induce, in this paper

4、, the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field, and give some judgment methods of irreducible polynomials such as Eisenstein method, Kronecker method, Perron method and Browm method. The equ

5、ivalence and inclusion relations between judgment methods are also investigated. In addition, we give some applications of ir</p><p><b>　　Key words</b></p><p>　　Irreducible polynomia

6、l; Judgment method; Application</p><p><b>　　1.引言</b></p><p>　　眾所周知，多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)的重要組成部分，而不可約多項(xiàng)式是多項(xiàng)式中重要的概念。但是現(xiàn)行的高等代數(shù)課本在多項(xiàng)式部分都講述了實(shí)數(shù)域上只有一次和兩次的不可約多項(xiàng)式，復(fù)數(shù)域上只有一次的不可約多項(xiàng)式以及有理數(shù)域上存在任意次不可約多項(xiàng)式這么一個(gè)事實(shí)

7、。但對(duì)有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定方法, 卻只介紹了艾森斯坦(Eisenstein)判別法。人們?cè)趯?duì)多項(xiàng)式進(jìn)行研究時(shí), 發(fā)現(xiàn)不可約多項(xiàng)式還存在另外的判定方法。</p><p>　　而通過(guò)學(xué)者們的研究發(fā)現(xiàn)，判斷有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式的問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)化為了整數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式的問(wèn)題。對(duì)于常用的艾森斯坦判別法，并非總是有效的因?yàn)椴⒎强偞嬖跐M足判別法條件的素?cái)?shù)。所以此方法有著一定的局限性。</p><

8、;p>　　隨著人們研究的深入和發(fā)展，更多的判別法不斷的產(chǎn)生。本文在現(xiàn)有的不可約多項(xiàng)式的判定方法的基礎(chǔ)之上,把有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定進(jìn)行分類。并且研究了不可約多項(xiàng)式的一些實(shí)際應(yīng)用。</p><p>　　2. 不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)</p><p><b>　　2.1 整除的概念</b></p><p>　　設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，對(duì)于中任意

9、兩個(gè)多項(xiàng)式與，其中，一定有中的多項(xiàng)式，存在，使得</p><p>　　成立，其中或者，并且這樣的，是唯一決定的。</p><p>　　定義2.1 數(shù)域P上的多項(xiàng)式稱為能整除，如果有數(shù)域P上的多項(xiàng)式使等式</p><p><b>　　=</b></p><p>　　成立，我們用“|”表示整除，用“”表示不能整除。<

10、/p><p>　　定理2.1 對(duì)于數(shù)域P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式,,其中,|的充分必要條件是除的余式為零。</p><p>　　證明: 如果= 0那么=,即|。反過(guò)來(lái)，如果|，那么==+0，即= 0。</p><p>　　注1: 帶余除法中必須不為零。</p><p>　　下面介紹整除性的幾個(gè)常用性質(zhì):</p><p>　?。?/p>

11、1） 如果|,|,那么，其中為非零常數(shù)。</p><p>　　（2）如果|,|，那么|（整除的傳遞性）。</p><p>　?。?） |,|，那么</p><p><b>　　|，</b></p><p>　　其中是數(shù)域P上任意多項(xiàng)式。</p><p><b>　　2.2 本原多項(xiàng)式&l

12、t;/b></p><p>　　若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)互素， 那么叫做一個(gè)本原多項(xiàng)式。</p><p>　　2.3 有理數(shù)域上多項(xiàng)式的等價(jià)</p><p>　　設(shè)有理數(shù)域上的一個(gè)多項(xiàng)式， 若的系數(shù)不全是整數(shù)，那么以系數(shù)分母的一個(gè)公倍數(shù)乘就得到一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。顯然，多項(xiàng)式與在有理數(shù)域上同時(shí)可約或同時(shí)不可約。</p><p>　　2.

13、4 多項(xiàng)式的不可約相關(guān)概念</p><p>　　在中學(xué)我們學(xué)過(guò)一些具體方法，把一個(gè)多項(xiàng)式分解為不能再分的因式的乘積，但并沒有深入探討和討論這個(gè)問(wèn)題，并沒有嚴(yán)格地論證它們是否真的不可再分，所謂不可再分的概念，其實(shí)不是絕對(duì)的，而是相對(duì)于系數(shù)的數(shù)域而言，有例如下</p><p>　　把進(jìn)行分解，可分解為</p><p>　　但這是相對(duì)于有理數(shù)域而言的，對(duì)于實(shí)數(shù)域來(lái)說(shuō)還可

14、分進(jìn)一步為</p><p>　　而在復(fù)數(shù)域上，還可以再進(jìn)一步分解為</p><p>　　由此可見，必須明確系數(shù)域后，所謂的不可再分，才有確切的涵義。</p><p>　　在下面的討論中，仍然須選定一個(gè)數(shù)域P作為系數(shù)域，數(shù)域P上多項(xiàng)環(huán)P中多項(xiàng)式的因式分解相關(guān)的不可約定義如下</p><p>　　定義2.4.1 數(shù)域P上的次數(shù)1的多項(xiàng)式稱為域P

15、上的不可約多項(xiàng)式，如果它不能表示成數(shù)域P上兩個(gè)次數(shù)比的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積。</p><p>　　我們要談的多項(xiàng)式的不可約性問(wèn)題的相關(guān)事實(shí)如下</p><p>　　（1）一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式;</p><p>　?。?）一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域的;</p><p>　?。?）不可約多項(xiàng)式與任一多項(xiàng)式之間只能是有兩種關(guān)系，或者或

16、者，事實(shí)上，如果，那么或者是1，或者是，當(dāng)= 時(shí)，就有。</p><p>　　2.5 有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的定義 </p><p>　　如果是有理數(shù)域上次數(shù)大于零的多項(xiàng)式且不能表示成有理數(shù)域上兩個(gè)次數(shù)比它低的多項(xiàng)式的乘積， 則稱為有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式。</p><p>　　3. 有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定方法</p><p>　　3.

17、1 Eisenstein判別法</p><p>　　在高等代數(shù)中，Eisenstein判別法是最為經(jīng)典和著名的，也是現(xiàn)行有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式判定判定方法中最為實(shí)用的。而人們長(zhǎng)久以來(lái)的研究衍生出了許多不同的方法。</p><p>　　3.1.1直接判別法</p><p>　　定理3.1.1 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，其中，設(shè)存在一個(gè)素?cái)?shù)，使得 不整除，整除（）但不整除，

18、那么多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。</p><p>　　3.1.2 間接判別法</p><p>　　對(duì)于分圓多項(xiàng)式不能直接應(yīng)用 Eisenstein判別法，可以做適當(dāng)?shù)淖冃沃蟊憧梢詰?yīng)用了。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，面對(duì)此類問(wèn)題，因?yàn)槠湎禂?shù)較高，不能用定義法去判定。我們所學(xué)的也只有Eisenstein判別法，但不能直接運(yùn)用?？紤]到多項(xiàng)式的等價(jià)，對(duì)多項(xiàng)式我們可以做適當(dāng)代換，這樣產(chǎn)生了 Eisenstei

19、n判別法的間接判別法。</p><p>　　定理3.1.2 有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分必要條件是: 對(duì)于任意的有理數(shù)和，多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約。</p><p>　　例1 證明在Q上不可約。</p><p><b>　　證明: </b></p><p>　　取，則不整除1，整除4,6,2，不整除2<

20、;/p><p>　　由 Eisenstein判別法知在Q上不可約，因此在Q上不可約。</p><p>　　3.1.3 其他派生出的判別法</p><p>　　這種由Eisenstein判別法派生出的方法與Eisenstein判別法相類似，能夠用來(lái)判定Eisenstein判別法所不能判定的一類有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式。</p><p>　　定理3.

21、1.3 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果存在一個(gè)素?cái)?shù)，使整除常數(shù)項(xiàng)但整除其他各項(xiàng)系數(shù)且不整除最高次數(shù)項(xiàng)系數(shù)，那么多項(xiàng)式在有理數(shù)上不可約。</p><p>　　例2下列多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是否可約？</p><p>　?。?(2) ； </p><p>　　，為奇素?cái)?shù)；，為整數(shù).</p><p>

22、;　　解: (1) 令，則有</p><p>　　取素?cái)?shù)=2，由于21,2 | 2,但是2故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而=在有理數(shù)域上也不可約。</p><p>　　(2) 取素?cái)?shù)=2,則21,2 | -8,2 | 12，但是2故由Eisenstein判別法可知，該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上也不可約。</p><p>　　(3) 令，代入=,得&

23、lt;/p><p>　　取素?cái)?shù)=3。由于31,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是3，故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而在有理數(shù)域上也不可約。</p><p>　　(4) 令,代入=,得</p><p>　　由于是素?cái)?shù)，且,，，，故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而在有理數(shù)域上也

24、不可約。</p><p>　?。?）令，代入 =得</p><p>　　取素?cái)?shù)=2，由于21，又2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但(4k+2)，故由Eisenstein判別法可知，在有理數(shù)上不可約，從而在有理數(shù)域上也不可約。</p><p>　　3.2 Kronerker判別法</p><p>　　定理3.2.

25、1 設(shè)，這里為有理數(shù)域。則在有限步下能分解成不可約多項(xiàng)式的乘積。 （只考慮整系數(shù)多項(xiàng)式的情形）</p><p>　　例3 證明在上不可約。</p><p><b>　　證明：取，</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　從而的因子是0，的因子是1，的因子是1，</p

26、><p><b>　　故令</b></p><p><b>　　應(yīng)用插值多項(xiàng)式：</b></p><p>　　由帶余除法可知，不整除，不整除，所以在Q上不可約。</p><p>　　3.3 Perron判別法</p><p>　　定理3.3.1 設(shè)是多項(xiàng)式，如果，則在Q上不可約。

27、</p><p>　　例4 證明在Q上不可約</p><p>　　證明：該題不滿足艾森斯坦判別法，但其為整系數(shù)多項(xiàng)式，滿足Perron判別法的條件，由題意可知，所以據(jù)Perron判別法可知該多項(xiàng)式在Q上不可約。</p><p>　　3.4 Brown判別法</p><p>　　定理3.4.1 設(shè)是次整系數(shù)多項(xiàng)式，令</p>&l

28、t;p>　　表示中1的個(gè)數(shù)，表示中的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，如果，則在Q上不可約。</p><p>　　例5 證明在Q上不可約</p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　所以多項(xiàng)式在Q上不可約。</p><p>　　3.

29、5 多項(xiàng)式無(wú)有理因式判別法</p><p>　　定理3.5.1 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若沒有次數(shù)小于和等于的有理因式，并且存在素?cái)?shù)，使：</p><p>　?。?）至少不整除中的一個(gè)</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><

30、;p>　　那么，在有理數(shù)域上不可約。</p><p>　　定理3.5.2 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若沒有次數(shù)小于和等于的有理因式，并且存在素?cái)?shù)，使：</p><p>　?。?）至少不整除中的一個(gè)</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　?。?）</b></p&

31、gt;<p>　　那么，在有理數(shù)域上不可約。</p><p>　　這種方法在應(yīng)對(duì)沒有不小于二次的有理因式的判定時(shí)，因?yàn)槠湫枰?jì)算機(jī)計(jì)算來(lái)得到，所以在此種情況下，沒有克羅奈克的方法更加的簡(jiǎn)便。</p><p>　　3.6 模約化處理判定法</p><p>　　定理3.6.1 ，是素?cái)?shù)，，其中，則在中不可約。</p><p>　　定

32、理3.6.2 ，是素?cái)?shù)，，其中，則在中不可約。</p><p>　　定理3.6.3 ，是素?cái)?shù)，其中，則在中不可約。</p><p>　　定理3.6.4 ，是素?cái)?shù)，，其中，無(wú)理想根，則在中不可約。</p><p>　　例6　判斷以下多項(xiàng)式在中是否可約:</p><p><b>　　解：（1）</b></p>

33、<p>　　其中,由定理2.5.1, 在中不可約.</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中，由定理2.5.3，在中不可約.</p><p>　?。?），5整除其余各項(xiàng)系數(shù)，，其中，因?yàn)榈南禂?shù)全為正數(shù)，所以的有理根只可能為負(fù)數(shù)，設(shè)是的有理根，則，所以均不是整式，所以無(wú)有理根，由定理2.5.4，在中不可約。&

34、lt;/p><p>　　4. 兩類特殊不可約多項(xiàng)式的判定</p><p>　　4.1 奇次不可約多項(xiàng)式的判定</p><p>　　定理4.1.1 對(duì)于整系數(shù)奇次多項(xiàng)式</p><p><b>　　若存在素?cái)?shù)使得</b></p><p><b>　?。?） （2）</b><

35、;/p><p>　?。?） （4）</p><p>　　那么，在有理數(shù)域上不可約。</p><p>　　4.2 系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式的判定 </p><p>　　定理4.2.1 已知是系數(shù)為1的多項(xiàng)式。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上可約；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果為合數(shù)，在上可約，如果為素?cái)?shù)，在上不可約。</p><p>　

36、　推論4.2.2 已知是系數(shù)在的多項(xiàng)式 。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上可約； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果為合數(shù)，在上可約，如果為素?cái)?shù)，在上不可約。</p><p>　　推論4.2.3已知是系數(shù)在的多項(xiàng)式 。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上可約；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果為合數(shù)，在上可約。</p><p>　　5. 不可約多項(xiàng)式的應(yīng)用</p><p>　　5.1 不可約多項(xiàng)式在重因式中的應(yīng)用</p>

37、<p>　　定義5.1.1 不可約多項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式的重因式，如果，而。如果，那么根本不是的因式；如果，那么稱為的單因素；如果，那么稱為的重因式。</p><p><b>　　如果的標(biāo)準(zhǔn)分解式為</b></p><p>　　那么分別是的重，重，，重因式。</p><p>　　定理5.1.2 如果不可約多項(xiàng)式是的重因式，那么它是微商的重因

38、式。</p><p>　　推論5.1.3 如果不可約多項(xiàng)式是的重因式，那么是的因式，但不是的因式。</p><p>　　推論5.1.4 不可約多項(xiàng)式是的重因式的充分必要條件為是與的公因式。</p><p>　　作為重因式的概念定義的基礎(chǔ)，不可約多項(xiàng)式的應(yīng)用從此可見一斑。</p><p>　　5.2 不可約多項(xiàng)式在多項(xiàng)式互素中的應(yīng)用</

39、p><p>　　定理5.2.1 中兩個(gè)多項(xiàng)式互素的充要條件是有中的多項(xiàng)式使。</p><p>　　定理5.2.2 如果,且,那么。</p><p>　　例7 證明：如果，，那么</p><p><b>　　．</b></p><p>　　解：假設(shè)，則一定存在不可約多項(xiàng)式</p><

40、p><b>　　使得|和|</b></p><p><b>　　又因?yàn)椴豢杉s，則有</b></p><p><b>　　|或|</b></p><p>　　這樣或，與條件矛盾。所以</p><p><b>　?。?lt;/b></p><

41、;p>　　例8 設(shè)都是多項(xiàng)式，而且</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　求證：。</b></p><p>　　解:　假設(shè)，則存在不可約多項(xiàng)式，使得</p><p><b>　　和,</b></p><p>　　又因?yàn)?/p>

42、不可約，故存在，使得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　這與條件矛盾，故</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>

43、　　證明：如果，那么。</b></p><p>　　解: 假設(shè)，則存在不可約多項(xiàng)式使得</p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　又因?yàn)椴豢杉s，則有</b></p><p><b>　　|或|。</b></p><p&g

44、t;　　不妨設(shè)|，由|和可得：|</p><p>　　所以，|，|同時(shí)成立，即：</p><p>　　這與條件矛盾，故有。</p><p><b>　　6. 結(jié) 論</b></p><p>　　本文通過(guò)相關(guān)資料的收集與整理，對(duì)有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定方法做了整理和歸納。對(duì)一般的多項(xiàng)式給出了克羅內(nèi)克（Kronecker

45、）判別法、艾森斯坦(Eisenstein)判別法、Perron判別法、Brown判別法、沒有有理因式的判別法、模約化判別法(為素?cái)?shù))。其中艾森斯坦(Eisenstein)判別法是最為經(jīng)典實(shí)用的方法，也是現(xiàn)行課本中的判別法。但有其一定的局限性。 對(duì)于克羅內(nèi)克（Kronecker）判別法，其大多依賴于計(jì)算機(jī)，實(shí)用不大。Perron判別法和Brown判別法為國(guó)外引進(jìn)方法，我國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)者在其有一定的研究基礎(chǔ)。模約化判別法(為素?cái)?shù))是我國(guó)提出來(lái)的應(yīng)

46、用抽象代數(shù)知識(shí)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行模約化處理，再研究多項(xiàng)式的性質(zhì)而得到的有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定方法。 在實(shí)際應(yīng)用這些方法時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意選擇判別法。有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定方法及分類是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的課題。一直以來(lái)，不乏學(xué)者對(duì)多項(xiàng)式的不可約性做過(guò)深入的研究。但總的來(lái)說(shuō)，暫時(shí)沒有一個(gè)較為系統(tǒng)的介紹，其發(fā)展還不是很完善。即使現(xiàn)在有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的判定已有很多種方法，但還是期待著更加簡(jiǎn)便，更加實(shí)用的方法出現(xiàn)，以致于能把不可約多項(xiàng)<

47、/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 張禾瑞，郝鈵新，高等代數(shù)（第四版）[M]. 高等教育出版社，2003，5: 49-81.</p><p>　　[2] 劉中良，有理數(shù)域上多項(xiàng)式不可約的判定[J]. 科技信息，2009，(1)：163-164.</p><p>　　[3] 景占策，整系數(shù)多

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