畢業(yè)論文多項(xiàng)式因式分解的方法探討

1、<p>　　本 科 生 畢 業(yè) 論 文</p><p>　　論 文 題 目： 多項(xiàng)式因式分解的方法探討 </p><p>　　作 者： </p><p>　　院 系： 數(shù)理學(xué)院 </p&

2、gt;<p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　班 級(jí)： 201102 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師： </p><p>　　2015 年

3、 5 月 13 日</p><p>　　Huanggang Normal University</p><p>　　Thesis Graduates</p><p>　　Topic：Polynomial Factorization Method Discussed in This Paper</p><p>　　Author：

4、 </p><p>　　College： College of Mathematics and Physics </p><p>　　Specialty： Mathematics and Applied Mathematics </p>

5、<p>　　Class： 201102 </p><p>　　Tutor： </p><p>　　May 13th, 2015</p><p><b>　　鄭重聲明</

6、b></p><p>　　本人所呈交的畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))是本人在指導(dǎo)教師 的指導(dǎo)下獨(dú)立研究并完成的. 除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，沒有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)行為，本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān). </p><p><b>　　特此鄭重聲明！</b></p><p>　　指導(dǎo)老師(手寫簽名)：&l

7、t;/p><p>　　論文作者(手寫簽名)：</p><p><b>　　年 月 日</b></p><p><b>　　摘 要 </b></p><p>　　因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，在分式運(yùn)算、解方程和代數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形中有著廣

8、泛的應(yīng)用。</p><p>　　論文概述了因式分解的概念及其相關(guān)理論，探討了因式分解的類型，并通過相關(guān)實(shí)例，對(duì)因式分解的方法進(jìn)行了歸納總結(jié)。</p><p>　　關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式；因式分解；方法</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Factorization is one of the

9、 most important identical deformation in the middle school mathematics and is a powerful tool for solving many mathematical problems, being widely used in fractional arithmetic, solving equations and algebraic and trigon

10、ometric identity deformation style. </p><p>　　The paper makes an outline of the concept and the theory of factorization , investigates the types of factorization and generalizes the methods of factorization

11、 through some related examples. </p><p>　　Key words: Polynomial; Factorization; methods </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　第1章 引 言1</b></p><p>

12、　　1.1 問題的提出1</p><p>　　1.2相關(guān)文獻(xiàn)綜述1</p><p>　　第2 章 因式分解的相關(guān)理論4</p><p>　　2.1多項(xiàng)式的可約性4</p><p>　　2.2 一元多項(xiàng)式理論4</p><p>　　2.3二次多項(xiàng)式理論5</p><p>　　2.4

13、多元多項(xiàng)式理論6</p><p>　　2.4.1 特殊多項(xiàng)式的定義6</p><p>　　2.4.2特殊多項(xiàng)式的性質(zhì)7</p><p>　　第 3章 因式分解的方法探討8</p><p>　　3.1應(yīng)用公式法8</p><p>　　3.2分組分解法8</p><p>　　3.3提取

14、公因式法9</p><p>　　3.4 拆項(xiàng)添項(xiàng)法10</p><p>　　3.5 十字相乘法11</p><p>　　3.6 主元法12</p><p>　　3.7 求根分解法13</p><p>　　3.8待定系數(shù)法15</p><p><b>　　3.9綜合法16&

15、lt;/b></p><p><b>　　結(jié)束語18</b></p><p><b>　　致謝19</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)20</b></p><p><b>　　第1章 引 言</b></p><p&

16、gt;<b>　　1.1 問題的提出</b></p><p>　　把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡整式的乘積的形式，這種變形叫作多項(xiàng)式的因式分解（也叫作分解因式）。因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)的研究之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。例如在分式運(yùn)算、解方程和各種恒等變換中，我們經(jīng)常會(huì)用到因式分解的方法來解決問題。 </p><p>　

17、　多項(xiàng)式的分解變形就是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因此因式分解的問題主要是涉及多項(xiàng)式的可約性以及如何分解這兩個(gè)問題。多項(xiàng)式的因式分解是一項(xiàng)重要的基本技能。在分式運(yùn)算、解方程和各種恒等變換中，都要用到因式分解。因式分解是在學(xué)習(xí)有理數(shù)和整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。它為以后學(xué)習(xí)分式運(yùn)算、解方程和代數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形提供必要的基礎(chǔ)。</p><p>　　因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，進(jìn)行因式分解時(shí)要靈活綜合運(yùn)用學(xué)過的有關(guān)

18、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并且因式分解的途徑很多，技巧性很強(qiáng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易出現(xiàn)只提取字母因式，不提取數(shù)字系數(shù)的情況，分解不徹底和不知如何下手等各種問題。學(xué)習(xí)因式分解的方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且通過對(duì)因式分解的學(xué)習(xí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、注意能力、運(yùn)算能力，提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。因此，掌握良好的因式分解的方法與技巧，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，具有十分重要的作用。</p><

19、;p><b>　　1.2相關(guān)文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　對(duì)于多項(xiàng)式的因式分解的研究，許多專家學(xué)者給出了自己的意見和看法。他們通過各種方法探討了如何將多項(xiàng)式進(jìn)行分解，通過嚴(yán)密的邏輯推理和合理的假設(shè)想象，得出了各種結(jié)論，對(duì)我們研究多項(xiàng)式分解的方法有著良好的指導(dǎo)作用。</p><p>　　例如學(xué)者李穎在《一元多項(xiàng)式因式分解一般方法》介紹了因式分解的定義及其局

20、限性，還介紹了多項(xiàng)式因式分解的兩種方法：一種是根據(jù)多項(xiàng)式的有理根；另一種是根據(jù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式。其中第二種方法是把原多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成新的多項(xiàng)式進(jìn)行分解，新的多項(xiàng)式都是次數(shù)較低的，比較容易進(jìn)行分解，而第一種方法則對(duì)于多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的約數(shù)個(gè)數(shù)少的比較適用。不足的是，這兩種方法未從理論上作出相應(yīng)的探討。</p><p>　　學(xué)者林乃榮在《初等數(shù)學(xué)中多項(xiàng)式因式分解方法探析》一文中也給出了幾種分解多項(xiàng)式的方法，

21、它們分別是：待定系數(shù)法、余數(shù)定理、綜合除法和行列式分解等方法。這些方法難度較大，技巧性較強(qiáng)，并且需要高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，學(xué)生不易掌握，比較適合本科生學(xué)習(xí)，對(duì)于初中生和高中生來說，有點(diǎn)超出他們的認(rèn)知程度。令人遺憾的是，學(xué)者林乃榮研究成果并非很完善，方法比較零散，沒有一定的系統(tǒng)性。</p><p>　　學(xué)者呂希元在《新課標(biāo)下的因式分解在高中的拓展》一文中，在新課標(biāo)背景下，初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接過程中，由于初中和高中對(duì)因式分解

22、的要求不同而造成知識(shí)脫節(jié)的這一現(xiàn)象，介紹了幾種在高中階段因式分解的拓展方法。因?yàn)樵诂F(xiàn)行的初中教材中只介紹了“提取公因式法”和“運(yùn)用公因式法”。在這基礎(chǔ)上又介紹了幾種方法：“分組分解法”，“十字相乘法”，“添項(xiàng)法”，“裂項(xiàng)法”，“綜合除法”等分解方法。這些方法在初中生和高中生對(duì)于因式分解的方法的掌握提供了一個(gè)橋梁的作用，讓學(xué)生更好的掌握多項(xiàng)式分解的方法。令人遺憾的是，他的研究并不全面，應(yīng)思考更多的方法來進(jìn)行研究。</p>&

23、lt;p>　　學(xué)者王鋒在《多項(xiàng)式因式分解的幾種方法》一文中，給出了幾種多項(xiàng)式因式分解的方法和多項(xiàng)式因式分解的兩個(gè)定理。其定理1為：每個(gè)次數(shù)大于等于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中都可以唯一分解成一次因式的乘積；定理2為：每個(gè)次數(shù)大于等于1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一的分解為一次因式和二次不可約因式的乘積。從這兩個(gè)定理可以看出多項(xiàng)式的可約性和分解式形式與數(shù)域有關(guān)。在此基礎(chǔ)上，介紹了在有理數(shù)域上的分解方法：多項(xiàng)式除法（多項(xiàng)式相除，微商

24、法）；待定系數(shù)法；利用單位根的方法。并通過相關(guān)例子給出了方法的應(yīng)用，這些方法給因式分解提供了參考。</p><p>　　學(xué)者畢嚴(yán)河在《因式分解的方法技巧匯總》一文中，則較系統(tǒng)地介紹了因式分解的方法。具體有：提公因式法、公式法、十字相乘法、拆項(xiàng)、添項(xiàng)法、配方法、應(yīng)用因式定理、換元法、求根法、圖像法，主元法、特殊值法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法、利用根和系數(shù)的關(guān)系等方法。并針對(duì)因式分解問題提出了三個(gè)原則：（1）分解要徹

25、底，（2）最后結(jié)果只有小括號(hào)，（3）最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正。客觀地講，他所研究的方法相對(duì)完善，對(duì)因式分解的方法有較全面的總結(jié)歸納，為有效地進(jìn)行因式分解提供了方法和途徑。不足之處在于缺乏一定理論深度，且從學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的角度考慮不多。</p><p>　　綜上所述，各學(xué)者從不同的角度研究了因式分解的問題，應(yīng)該說各有所長，各有所短,每位學(xué)者研究的角度不同以至于研究的內(nèi)容不同，因此各個(gè)學(xué)者的研究成果和內(nèi)容給了我很

26、大的啟發(fā)，為我的課題研究提供很好的指導(dǎo)和借鑒作用。</p><p>　　第2 章 因式分解的相關(guān)理論</p><p>　　我們在以前所學(xué)的初中知識(shí)中已經(jīng)了解了多項(xiàng)式的定義，即由若干個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。</p><p>　　2.1多項(xiàng)式的可約性</p>&

27、lt;p>　　我們在高等代數(shù)里已經(jīng)研究了多項(xiàng)式的可約性，其結(jié)果如下：</p><p>　?。?）在復(fù)數(shù)域C上，只有一次式是既約的，也就是一個(gè)多項(xiàng)式可以分解為 一次因式的乘積。</p><p>　　（2）在實(shí)數(shù)域R上，一次式和二次式（判別式△<0)是既約的，也就是</p><p>　　多項(xiàng)式可以分解成一次式或二次既約式的乘積。</p>

28、<p>　?。?）在有理數(shù)域Q上，一次式和任何高于一次的多項(xiàng)式都可以是既約的。</p><p>　　例如，對(duì)于任意自然數(shù)，多項(xiàng)式就是不可約的。</p><p>　　2.2 一元多項(xiàng)式理論 </p><p>　　一元多項(xiàng)式可整理為的形式，其中是非負(fù)整數(shù)。當(dāng)時(shí)，叫做多項(xiàng)式的次數(shù)，上式叫做一元次多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。其中叫做多項(xiàng)式的首項(xiàng)，叫做首項(xiàng)系

29、數(shù)。</p><p>　　對(duì)于一元多項(xiàng)式，有如下的因式分解定理：</p><p>　　定理1 （因式分解及唯一性定理） :</p><p>　　數(shù)域P上每一個(gè)次數(shù)1的多項(xiàng)式都可以唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積。所謂的唯一性就是說，如果有兩個(gè)分解式，那么必有，并且適當(dāng)排列因式的次序后有是一些非零常數(shù)。</p><p>　　2.3二次

30、多項(xiàng)式理論</p><p>　　對(duì)于一般的多項(xiàng)式通過一定的技巧和方法把一般多元二次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二次齊次多項(xiàng)式，這時(shí)可利用二次型理論研究一般二次多項(xiàng)式可分解的判別法及其分解方法。</p><p>　　定理2 對(duì)于實(shí)系數(shù)的二元二次多項(xiàng)式</p><p><b>　　則.</b></p><p><b>　　證明：

31、設(shè) </b></p><p><b>　　由待定系數(shù)法得：</b></p><p><b>　　定理3 設(shè)，.</b></p><p><b>　　證明 ：</b></p><p>　　分解為兩個(gè)一次因式之積</p><p><b>

32、;　　為完全平方式</b></p><p><b>　　為完全平方式</b></p><p>　　2.4 多元多項(xiàng)式理論</p><p>　　多元多項(xiàng)式是一元多項(xiàng)式的推廣，是多項(xiàng)式理論研究的重要對(duì)象，它不但與高次方程的討論有關(guān)，而且在進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其它數(shù)學(xué)分支時(shí)也都會(huì)碰到．多元多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)研究

33、的重要內(nèi)容之一，又是一個(gè)在數(shù)學(xué)科學(xué)中既重要又極為困難的問題，在許多情況下有些多元多項(xiàng)式是不能進(jìn)行因式分解的，因此在這里選擇特殊多項(xiàng)式來進(jìn)行相關(guān)的研究。</p><p>　　2.4.1 特殊多項(xiàng)式的定義</p><p>　　我們這里所指的特殊多項(xiàng)式主要指對(duì)稱多項(xiàng)式、交代多項(xiàng)式和輪換多項(xiàng)式，其概念與性質(zhì)如下：</p><p><b>　　（1)對(duì)稱多項(xiàng)式<

34、;/b></p><p>　　設(shè)是元多項(xiàng)式，如果對(duì)于任意的都有=就稱這個(gè)多項(xiàng)式是對(duì)稱多項(xiàng)式，簡稱對(duì)稱式。如就是一個(gè)三元三次對(duì)稱多項(xiàng)式。</p><p><b>　?。?）輪換多項(xiàng)式</b></p><p>　　設(shè)是元多項(xiàng)式，如果將變數(shù)字母, 按一定順序輪換，例如以代,以代,...,以代,以代有=就稱這個(gè)多項(xiàng)式是輪換多項(xiàng)式，簡稱輪換式。如

35、是一個(gè)輪換多項(xiàng)式。</p><p><b>　?。?）交代多項(xiàng)式</b></p><p>　　設(shè)是元多項(xiàng)式，如果對(duì)于任意的都有=就稱這個(gè)多項(xiàng)式是交代多項(xiàng)式，簡稱交代式。如是一個(gè)交代多項(xiàng)式。</p><p>　　2.4.2特殊多項(xiàng)式的性質(zhì)</p><p>　?。?）凡對(duì)稱式都是輪換式，反之不一定。</p>&

36、lt;p>　　(2）變數(shù)字母相同的兩個(gè)對(duì)稱式的和、差、積、商（能整除的）仍是對(duì)稱式。</p><p>　　(3)變數(shù)字母相同的兩個(gè)輪換式的和、差、積、商（能整除的）仍是輪換式。</p><p>　　(4)變數(shù)字母相同的兩個(gè)交代式的和、差仍是交代式，它們的積、商（能整除的）仍是對(duì)稱式。</p><p>　　(5)變數(shù)字母相同的一個(gè)對(duì)稱式與一個(gè)交代式的積、商（能整

37、除的）則是交代式。</p><p>　　(6)多個(gè)變數(shù)字母的交代式，必有其中任意兩個(gè)變數(shù)字母之差的因式。 </p><p>　　第 3章 因式分解的方法探討</p><p><b>　　3.1應(yīng)用公式法</b></p><p>　　如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式因式分解，這種方法叫做公式法

38、。常用的乘法公式有如下幾種：</p><p><b>　　平方差公式：</b></p><p><b>　　完全平方式：</b></p><p><b>　　立方和公式：</b></p><p><b>　　立方差公式：</b></p>&l

39、t;p><b>　　完全立方公式：</b></p><p><b>　　例1 </b></p><p><b>　　解 原式 </b></p><p>　　在應(yīng)用公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，要注意公式的特點(diǎn)。一般說來，應(yīng)先觀察多項(xiàng)式的特征，主要看它的項(xiàng)數(shù)，次數(shù)，然后再嘗試某種公式進(jìn)行因式分解

40、，并記住公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)用條件，確保因式中的系數(shù)和符號(hào)的正確性。</p><p><b>　　3.2分組分解法</b></p><p>　　分組分解是分解多項(xiàng)式的一種較復(fù)雜的方法。能分組的多項(xiàng)式往往有有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組方法有兩種：二二分組法、三一分組法。需要說明的是，運(yùn)用分組分解法，要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行細(xì)致的觀察，觀察中還要有一定的預(yù)見性，能預(yù)見到下一步能否繼續(xù)

41、分解。其中分析多項(xiàng)式特點(diǎn)，進(jìn)行恰當(dāng)分組是分組分解法的關(guān)鍵。 </p><p><b>　　例2 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p><b>　　例3 </b></p><p><b>　　解 原式</b><

42、/p><p>　　在運(yùn)用分組分解法進(jìn)行因式分解時(shí)，首先要注意對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行觀察，合理進(jìn)行分組，如二二分組，其次在各個(gè)組內(nèi)進(jìn)行分解（如運(yùn)用提取公因式法、平方法等方法將每個(gè)組的多項(xiàng)式進(jìn)行分解），最后組間再進(jìn)行分解，如果有公因式，應(yīng)先提公因式；如果一個(gè)多項(xiàng)式中有三項(xiàng)是一個(gè)完全平方式或通過提取一個(gè)負(fù)號(hào)是完全平方式，一般就選用三一分組的方法進(jìn)行分組分解。</p><p><b>　　3.3提取公

43、因式法</b></p><p>　　各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。</p><p>　　提公因式法關(guān)鍵是找公因式。其方法是：一看系數(shù)、二看字母。公因式的系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)相同的字母，并且各字母的指數(shù)取最低次冪。<

44、;/p><p><b>　　例4 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p>　　用提取公因式法分解因式的步驟是:第一步，觀察多項(xiàng)式進(jìn)行找公因式，可按照上述確定公因式的方法，先確定系數(shù)再確定字母將公因式確定。第二步，提取公因式并確定另外一個(gè)因式，注意另一因式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。第三步

45、，提取公因式后，將公因式與另一因式想乘。</p><p>　　3.4 拆項(xiàng)添項(xiàng)法 </p><p>　　拆項(xiàng)添項(xiàng)法是因式分解常用的方法.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí),化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng),或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí),需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng).拆項(xiàng)是把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),添項(xiàng)是在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符號(hào)相反的項(xiàng).拆項(xiàng)添項(xiàng)法的目的是使多項(xiàng)

46、式能進(jìn)行因式分解.</p><p><b>　　例5 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p><b>　　例6 </b></p><p><b>　　解 添加兩項(xiàng),</b></p><p>

47、<b>　　則原式 </b></p><p>　　拆項(xiàng)添項(xiàng)法，這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使原式適合于提公因式法，運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解, 要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。</p><p>　　要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行細(xì)致的觀察，觀察中還有預(yù)見性，能預(yù)見到下一步能否繼續(xù)分解。其中分析多項(xiàng)式特點(diǎn)，進(jìn)行恰當(dāng)拆項(xiàng)，添項(xiàng)是拆項(xiàng)

48、，添項(xiàng)法的關(guān)鍵。</p><p>　　用拆項(xiàng)，添項(xiàng)的方法進(jìn)行因式分解的時(shí)候，要拆哪些項(xiàng)，添哪些項(xiàng)并沒有一定的規(guī)律，主要是依靠對(duì)題目的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是多項(xiàng)式因式分解的諸多方法中技巧性較強(qiáng)的一種方法。</p><p><b>　　3.5 十字相乘法</b></p><p>　　十字相乘法是針對(duì)二次三項(xiàng)多項(xiàng)式而提出的一種方法，基本思

49、想是：將二次式系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分解，然后交叉相乘（即為十字相乘），十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘的和等于一次項(xiàng)系數(shù)。其方法的依據(jù)是運(yùn)用乘法公式的逆運(yùn)算來進(jìn)行因式分解。</p><p><b>　　例6 </b></p><p><b>　　解 令，</b></p><p><b>

50、　　則原式</b></p><p>　　一般地，對(duì)于二次三項(xiàng)式,如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解兩個(gè)因數(shù)乘積，即,常數(shù)項(xiàng)可以分解為兩個(gè)因數(shù)之積，即,把排列如下：</p><p>　　按斜線交叉相乘，再相加，得到,若它正好等于二元三次項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二元三次項(xiàng)式就可以分解成為的乘積，即</p><p>　　這種方法的關(guān)鍵是對(duì)二次三項(xiàng)式的三個(gè)系數(shù)（二次項(xiàng)系數(shù)

51、也稱首項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)也稱中項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)也稱尾項(xiàng)系數(shù)）進(jìn)行觀察，然后再進(jìn)行首尾分解，交叉相乘，求和湊中。</p><p><b>　　3.6 主元法 </b></p><p>　　所謂主元法分解因式就是在分解含多個(gè)字母的代數(shù)式時(shí),選取其中一個(gè)字母為主元(未知數(shù)),將其它字母看成是常數(shù),把代數(shù)式整理成關(guān)于主元的降冪排列(或升冪排列)的多項(xiàng)式,再嘗試用公式法、配方法

52、、分組法等分解因式的方法進(jìn)行分解。</p><p><b>　　例7 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p><b>　　現(xiàn)拋開，只看</b></p><p>　　一般說來，當(dāng)多項(xiàng)式中的字母過多，項(xiàng)數(shù)過多，并且在運(yùn)用其他的因式分解的方法不是那

53、么容易的情況下，可以考慮采用主元法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解。首先選定一個(gè)字母為主元，將其他字母看為常數(shù)，然后按照降冪的形式將多項(xiàng)式進(jìn)行重新排列，再進(jìn)行觀察，看能否用其他的方法進(jìn)行分解，然后進(jìn)行繼續(xù)分解最終將原多項(xiàng)式因式分解。</p><p><b>　　3.7 求根分解法</b></p><p>　　求根法就是求出多項(xiàng)式的根從而進(jìn)行因式分解的一種方法。</p>

54、<p>　　即如果多項(xiàng)式有根，則可分解為 </p><p>　　在初中代數(shù)中，曾用一元二次方程的求根公式把二次三項(xiàng)式分解因式。這種方法對(duì)于二元二次多項(xiàng)式也適用。一般說來，對(duì)于一元二次多項(xiàng)式，可考慮用求根法求解。即將多項(xiàng)式分解可得,其中為的兩根，要用求根公式解出。</p><p><b>　　例8 </b><

55、;/p><p><b>　　解 原式=</b></p><p><b>　　應(yīng)用求根公式得：</b></p><p>　　因式定理分解法、綜合除法實(shí)質(zhì)上是求根法，因此在運(yùn)用這些方法來進(jìn)行因式分解的本質(zhì)上都是一樣的，都得先求出這個(gè)多項(xiàng)式方程的根，進(jìn)而再次進(jìn)行分解。我們在運(yùn)用因式定理來進(jìn)行分解因式，即：如果多項(xiàng)式，那么多項(xiàng)式必定含

56、有因式。反過來，如果含有因式，那么，。將因式定理與待定系數(shù)法配合使用，往往可以更簡便的進(jìn)行因式分解。當(dāng)是有理數(shù)時(shí)可用綜合除法予以確定，這種方法的依據(jù)是：如果整系數(shù)多項(xiàng)式有因式，則一定是的約數(shù)，一定是的約數(shù)。具體做法是：</p><p>　?。?）先寫出整系數(shù)多項(xiàng)式的首相系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)，然后以的因數(shù)為分母，的因數(shù)為分子，作出所有可能的既約分?jǐn)?shù)(包括整數(shù)）。如果有有理根，則必在這些既約分?jǐn)?shù)中。因此它們是可能的

57、試除數(shù)。</p><p>　?。?）從上述既約分?jǐn)?shù)中合理的選擇試除數(shù)。如果的各項(xiàng)系數(shù)都是正數(shù)或都是負(fù)數(shù)，就只有選擇負(fù)的試除數(shù)，同理，如果的各項(xiàng)中奇次項(xiàng)系數(shù)都是正數(shù)，偶次項(xiàng)系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）都是負(fù)數(shù)，或者奇次項(xiàng)系數(shù)都是負(fù)數(shù)，偶次項(xiàng)系數(shù)都是正數(shù)，就只有選擇正的試除數(shù)。</p><p>　?。?)選好試除數(shù)后，即用綜合除法試除。當(dāng)選用作為試除數(shù)時(shí)，可選用視察法看是否為零。如果不為零，就排除，如果

58、為零，再用綜合除法求出商式。</p><p><b>　　例9 </b></p><p>　　解 可能的試除數(shù)是，由于的奇次項(xiàng)系數(shù)都是正數(shù)，偶次項(xiàng)系數(shù)都是負(fù)數(shù)，故只選正的試除數(shù)。又由視察法，，1排除，用2試除</p><p><b>　　2 </b></p><p>　　3 4 17 28

59、 </p><p>　　排除，同樣都排除，用試除</p><p>　　3 0 9 0</p><p><b>　　3.8待定系數(shù)法</b></p><p>　　待定系數(shù)法是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法。用待定系數(shù)法分解因式，首先按已知條件把原式假設(shè)成若干個(gè)因式的乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由

60、于這些因式的乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值。</p><p><b>　　例10 </b></p><p><b>　　解 由</b></p><p><b>　　可設(shè)</b></p><p>　　比較上式左右兩

61、邊的同次項(xiàng)系數(shù)，</p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　解得 </b></p><p><b>　　例11 </b></p><p>　　解 由于是4次多項(xiàng)式，且最高次項(xiàng)系數(shù)為1，</p><p>　　

62、在R上可以先假設(shè)它的分解式為</p><p>　　再求出待定系數(shù)，然后觀察是否可以分解因式</p><p><b>　　由</b></p><p>　　比較上式左右兩邊的同次項(xiàng)系數(shù)，</p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　解得

63、 </b></p><p>　　在應(yīng)用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解時(shí)，首先要明確待分解的式子分解后是什么形式.如用待定系數(shù)法分解有兩個(gè)字母的二次多項(xiàng)式,且多項(xiàng)式中含有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。其實(shí)待定系數(shù)法是把分解因式轉(zhuǎn)換成了解方程，使我們能順利解決問題.又如含有多個(gè)字母的對(duì)稱多項(xiàng)式或輪換多項(xiàng)式就要用因式定理和待定系數(shù)法聯(lián)合求解。</p><p><b>　　3.9綜合法</b

64、></p><p>　　這里的綜合法是指用兩種及以上的方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解的方法。如，對(duì)于特殊的多元多項(xiàng)式的因式分解，如對(duì)稱式、輪換式，其因式分解可考慮觀察法和待定系數(shù)法并用。</p><p><b>　　例12 </b></p><p>　　解 由觀察可知原多項(xiàng)式為交代式和輪換式。</p><p>　

65、　由于為三元齊次交代式，</p><p><b>　　必有因式</b></p><p><b>　　則可設(shè)</b></p><p><b>　　令求得</b></p><p><b>　　例13 </b></p><p>　　

66、解 由觀察可知原多項(xiàng)式為三元齊次對(duì)稱式。</p><p>　　根據(jù)特殊多項(xiàng)式的性質(zhì)，故當(dāng)時(shí)有，</p><p><b>　　故有因式</b></p><p>　　由于為三元齊次對(duì)稱式</p><p><b>　　可設(shè)</b></p><p><b>　　令得&l

67、t;/b></p><p><b>　　令得</b></p><p>　　一般說來，對(duì)稱式、輪換式在進(jìn)行因式分解時(shí)，其步驟是：首先用觀察法找出其一次因式，然后根據(jù)特殊多項(xiàng)式的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求其另外一個(gè)因式。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　在解決數(shù)學(xué)問題中，

68、研究多項(xiàng)式因式分解的問題以及多項(xiàng)式因式分解的方法總結(jié)與探討的現(xiàn)實(shí)問題，對(duì)我具有特別的吸引力，也具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，同時(shí)也是我們學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)研究，用以研究和解決現(xiàn)實(shí)問題的魅力、動(dòng)力之源．本次畢業(yè)論文，主要是從多項(xiàng)式因式分解的理論角度，概述了多項(xiàng)式的可約性，一元多項(xiàng)式理論，二次多項(xiàng)式理論，特殊多項(xiàng)式概念及其性質(zhì)等；從多項(xiàng)式因式分解類型的角度，歸納總結(jié)了因式分解的方法技巧；從多項(xiàng)式因式分解的意義的角度，分析多項(xiàng)式的因式分解能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能

69、力，能培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維的深刻性．總體上講，論文基本達(dá)到設(shè)計(jì)要求，但仍然存在不足之處．如方法總結(jié)歸納不是很全面，對(duì)多項(xiàng)式因式分解的意義探索的不細(xì)致，因式分解的方法歸納總結(jié)不夠全面，而這些都是要進(jìn)一步研究的問題．</p><p>　　通過總結(jié)多項(xiàng)式因式分解的方法，讓我了解了很多相關(guān)的知識(shí)，通過比較不同方法的簡便程度，查找相關(guān)的資料并進(jìn)行分析總結(jié)，并結(jié)合相關(guān)的實(shí)際例子加以驗(yàn)證，這些問題的分析

70、，都將有利于我今后相關(guān)研究工作的進(jìn)一步展開，為研究推廣同類問題提供思路．</p><p>　　多項(xiàng)式因式分解的方法探討作為我的畢業(yè)論文設(shè)計(jì)，是對(duì)我大學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)總結(jié)．在歷時(shí)將近半年的時(shí)間里，按照處理具體例子的方法對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行了分析，總結(jié)了具體的某一類問題的求解方法，這些都讓我從中都受益匪淺．在分析和撰寫論文的過程中，也遇到了很多疑惑和困難．在分析問題和解決問題的過程中，方法也逐步越來越多樣化，本人也得以學(xué)習(xí)和成

71、長．</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在論文設(shè)計(jì)的過程中，我的論文指導(dǎo)教師張清芳老師對(duì)各個(gè)環(huán)節(jié)給予了細(xì)心指引與教導(dǎo), 使我得以最終完成畢業(yè)論文設(shè)計(jì). 導(dǎo)師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、豐富淵博的知識(shí)、敏銳的學(xué)術(shù)思維、精益求精的工作態(tài)度以及侮人不倦的師者風(fēng)范是我終生學(xué)習(xí)的楷模，她高深精湛的造詣與嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)精神，將永遠(yuǎn)激勵(lì)著我. 這四年中還得到眾多老師

72、的關(guān)心支持和幫助. 在此，謹(jǐn)向老師們致以衷心的感謝和崇高的敬意！</p><p>　　經(jīng)過了三個(gè)多月的學(xué)習(xí)和工作，我終于完成了這篇論文. 雖然我在校期間一直堅(jiān)持研究多項(xiàng)式的問題，這個(gè)論文題目我在此之前已研究過，但當(dāng)時(shí)研究不夠深入，寫作粗糙，作為畢業(yè)論文重新進(jìn)行研究，每走一步對(duì)我來說都是新的嘗試與挑戰(zhàn). 在這段時(shí)間里，我學(xué)到了很多知識(shí)，也有很多感受，查看相關(guān)的資料和書籍，了解到國內(nèi)外關(guān)于多項(xiàng)式因式分解的方法與探討這

73、一問題的獨(dú)到見解，也讓自己頭腦中模糊的概念逐漸清晰，使自己非常稚嫩作品一步步完善起來，每一次改進(jìn)都是我學(xué)習(xí)的收獲，每一次修改的成功都會(huì)讓我興奮好一段時(shí)間. 雖然我的論文作品可能還有很多不足之處，但是這次做論文的經(jīng)歷會(huì)使我終身受益，是對(duì)即將走進(jìn)社會(huì)的我們的一次知識(shí)和能力的綜合考驗(yàn)，我感受到做論文是要真真正正用心去做的一件事情，是真正的自己學(xué)習(xí)的過程和研究的過程. 沒有學(xué)習(xí)就不可能有研究的能力；沒有自己的研究，就不會(huì)有所突破. 希望這次的經(jīng)

74、歷能讓激勵(lì)我在以后學(xué)習(xí)中繼續(xù)前行！</p><p>　　最后，我要向百忙之中抽時(shí)間對(duì)本文進(jìn)行審閱、評(píng)議和參與本人論文答辯的各位老師表示感謝. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)　　</b></p><p>　　[1] 姚謹(jǐn). 初中生對(duì)一元二次方程的理解[D]. 華東師范大學(xué). 2013.</p><p>　　[2]

75、呂瑞芳. 整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解研究方法研究[D]. 成都電子科技大學(xué). 2008.</p><p>　　[3] 張霞. 多項(xiàng)式因式分解的方法[J]. 黑龍江科技信息.2012，4(15):177-178.</p><p>　　[4] 畢嚴(yán)河. 因式分解的方法匯總[J]. 科技視界. 2014, 1(01）：277-279.</p><p>　　[5] 李長明，周煥

76、山. 初等數(shù)學(xué)研究[M]. 北京：高等教育出版社.1995.</p><p>　　[6] 姜文英. 關(guān)于多元多項(xiàng)式的因式分解[J] . 衡水學(xué)院學(xué)報(bào).2013，2（01）：5-6.</p><p>　　[7] 朱洪聲. 含參數(shù)的一元多項(xiàng)式的因式分解[J]. 云南師范大學(xué)學(xué)報(bào).1987,( 4):40-44.</p><p>　　[8] 林國泰，司徒永顯，鄺會(huì)雄. 初

77、等代數(shù)研究教程[M]. 廣東：暨南大學(xué)出版社，1996.</p><p>　　[9] 葛軍，涂榮豹. 初等數(shù)學(xué)研究教程[M]. 南京：江蘇教育出版社，1999.</p><p>　　[10] 呂希元. 新課標(biāo)下的因式分解在高中的拓寬[J]. 科教文匯.2010,(2)：74-77 .</p><p>　　[11] 吳成龍. 一元多項(xiàng)式的因式分解探討[J]. 現(xiàn)代商貿(mào)

78、工業(yè).2009,(1)：277-278. </p><p>　　[12] 林乃榮. 初等數(shù)學(xué)中多項(xiàng)式因式分解方法探析[J]. 現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè).2011,(8):201.</p><p>　　[13] 王甲年. 淺談靈活運(yùn)用十字相乘法分解因式[J]. 黑龍江科技信息.2008,(11):156.</p><p>　　[14] 王鋒. 多項(xiàng)式因式分解的幾類方法[J]. 電