數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文-矩陣特征多項(xiàng)式及特征值的一些應(yīng)用

1、<p>　　矩陣特征多項(xiàng)式及特征值的一些應(yīng)用</p><p><b>　　xxx</b></p><p>　?。▁xxx大學(xué) xx xx xxxxx）</p><p>　　摘 要 在高等代數(shù)中我們學(xué)習(xí)了許多與矩陣特征多項(xiàng)式及特征值相關(guān)的知識(shí)，并且可以利用特征多項(xiàng)式及特征值來解決許多問題，而這篇論文的核心思想就是總結(jié)它在解題中的具體

2、運(yùn)用. 這篇論文中借助矩陣特征多項(xiàng)式及特征值詳細(xì)敘述了有關(guān)矩陣零化、矩陣指數(shù)、基解矩陣以及矩陣的對(duì)角化，其中矩陣的對(duì)角化包括相似對(duì)角形與合同對(duì)角形，同時(shí)說明了實(shí)對(duì)稱矩陣相似與合同之間的關(guān)系，從而形成一個(gè)與之相關(guān)的知識(shí)系統(tǒng)并且能夠在解題中熟練地加以運(yùn)用.</p><p>　　關(guān)鍵詞 矩陣零化；基解矩陣；合同；相似；對(duì)角化；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>　　The Application o

3、f Characteristic Polynomial and Characteristic Value of Matrix when Solving Mathematical Problems</p><p><b>　　xxx</b></p><p>　　（xxxxuniversity xxx xxxx）</p><p>　　Abstr

4、act: We have studied so much knowledge about characteristic polynomial and eigenvalue of matrix in the advanced algebra teaching material that we can use such knowledge to save great numbers of mathematical problems. Bu

5、t how to use this knowledge when saving problems? Now, let us summarize its specific use about this knowledge, which are the core ideas of this paper. In this paper，with the help of characteristic polynomial and eigenva

6、lue of matrix，a lot of knowledge about zeroize matrix, </p><p>　　Keywords: Zeroize matrix; The base solution matrix; Similar; Jordan normal forms.</p><p><b>　　目 錄</b></p><

7、;p><b>　　前 言1</b></p><p><b>　　1 概念引入1</b></p><p>　　2 矩陣的零化3</p><p>　　3 矩陣指數(shù)及基解矩陣7</p><p>　　4 對(duì)角矩陣及矩陣的對(duì)角化10</p><p>　　4.1

8、 矩陣的相似對(duì)角形10</p><p>　　4.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的合同對(duì)角形13</p><p>　　4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣合同與相似之間的關(guān)系17</p><p>　　4.4 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形19</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)21</b></p><p><b>　　致

9、 謝22</b></p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　矩陣特征多項(xiàng)式及其特征值可謂是高等代數(shù)的骨干級(jí)內(nèi)容，在理論和應(yīng)用方面都具有重要意義，大多數(shù)重要的代數(shù)知識(shí)幾乎都利用到了矩陣特征多項(xiàng)式及其特征值中的知識(shí)和方法.在本篇論文中，首先以高等代數(shù)教材上有關(guān)矩陣特征多項(xiàng)式及特征值的基本定義出發(fā)來引入，然后在論文的第一部分介紹了一個(gè)

10、有關(guān)矩陣零化的定理，哈密頓—?jiǎng)P萊（Hamilton—Cayley）定理，然后從這個(gè)定理出發(fā)，得到它的兩個(gè)推論，其中一個(gè)涉及到矩陣指數(shù)，以此為出發(fā)點(diǎn)，介紹了利用矩陣特征多項(xiàng)式及其特征值來求線性常微分方程組基解矩陣的基本方法.論文的第二部分的主要內(nèi)容是利用矩陣特征多項(xiàng)式及其特征值來化矩陣為對(duì)角形矩陣，包括相似對(duì)角形矩陣和與實(shí)對(duì)稱矩陣合同的對(duì)角形矩陣，然后有介紹了二者的區(qū)別和聯(lián)系.在這一部分的最后，又簡(jiǎn)單地說明了并不是所有的矩陣都能對(duì)角化，但

11、可以利用特征值來化為它的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.本論文的主要目的是把涉及到矩陣特征多項(xiàng)式及特征值的眾多知識(shí)聯(lián)系起來，形成一個(gè)系統(tǒng)，從而有利于更好地學(xué)習(xí)并利用它. </p><p><b>　　1 概念引入</b></p><p>　　矩陣的特征多項(xiàng)式與特征根</p><p>　　矩陣是高等代數(shù)

12、中非常基本的概念，有關(guān)它的定義和一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)在許多高等代數(shù)的教材中都有所敘述，在本文的開始，我們就來先了解一下矩陣及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，詳見參考文獻(xiàn)[1]和[2].</p><p><b>　　定義1.1 設(shè)</b></p><p>　　是域F上的一個(gè)n階矩陣，是一個(gè)文字，矩陣的行列式</p><p>　　叫矩陣A的特征多項(xiàng)式．在內(nèi)的根叫做矩陣A的

13、特征根．</p><p><b>　　的特征多項(xiàng)式為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　它有以下性質(zhì)：</b></p><p>　?。?）是的階主子式之和，特別地</p><p><b>　　;<

14、/b></p><p>　?。?）若有個(gè)根（例如復(fù)數(shù)根），則是的次初等對(duì)稱多項(xiàng)式，特別地</p><p><b>　　;</b></p><p>　?。?）若，則，其中為的特征多項(xiàng)式;</p><p>　?。?）若為上三角陣，則為的特征值;</p><p>　?。?）若為復(fù)數(shù)域，則當(dāng)且僅當(dāng)其

15、特征值（復(fù)數(shù)值）均非零.</p><p>　　設(shè)是矩陣A的特征根，而是一個(gè)非零的列向量，使,就是說，是齊次線性方程組的一個(gè)非零解．我們稱是矩陣的屬于特征根的特征向量.</p><p>　　例1　設(shè)線性變換在一組基下的矩陣為</p><p>　　求線性變換的特征根和相應(yīng)的特征向量．</p><p>　　解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為</p>

16、;<p>　　所以矩陣A的特征值為（二重）和</p><p>　　把特征值代入齊次方程組</p><p><b>　　得到</b></p><p><b>　　它的基礎(chǔ)解系是，</b></p><p>　　因此屬于的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是 和</p><p&g

17、t;　　而屬于的全部特征向量就是，，取遍數(shù)域P中不全為零的全部數(shù)對(duì).</p><p>　　再用特征值代入，得到</p><p><b>　　它的基礎(chǔ)解系是</b></p><p>　　因此，屬于的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是</p><p>　　而屬于特征值的全部特征向量就是，為數(shù)域中任意不等于零的數(shù). ▍<

18、/p><p><b>　　2 矩陣的零化</b></p><p>　　有關(guān)矩陣零化，最重要的一個(gè)知識(shí)就是哈密頓—?jiǎng)P萊定理，它利用了矩陣的特征多項(xiàng)式把矩陣化成一個(gè)零矩陣，下面就作一個(gè)簡(jiǎn)單地?cái)⑹?，可見參考文獻(xiàn)[1].</p><p>　　定理2.1 哈密頓—?jiǎng)P萊（Hamilton—Cayley）定理</p><p>　　設(shè)是數(shù)

19、域上的一個(gè)階矩陣，</p><p><b>　　是的特征多項(xiàng)式，則</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　證明：設(shè)是的伴隨矩陣，由行列式的性質(zhì)，有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　因?yàn)榫仃嚨脑?/p>

20、素是的各個(gè)代數(shù)余子式，都是的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過，因此根據(jù)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，可以寫成</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中，，， 都是數(shù)字矩陣。</p><p><b>　　再設(shè) </b></p><p><b>　　，</b></p>

21、<p><b>　　則</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　比較（3）和（4），得</p><p>

22、;<b>　?。?）</b></p><p>　　以，，，，依次從右邊乘（5）的第一式，第二式，，第式， 第式，得</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　把（6）的個(gè)式子一起加起來，左邊變成零，右邊即為</p><p>　　故.定理得證.

23、 ▍</p><p>　　哈密頓—?jiǎng)P萊定理是一個(gè)有關(guān)矩陣零化的定理，它指出，任給數(shù)域上一個(gè)階矩陣，總可以找到數(shù)域上的一個(gè)多項(xiàng)式使得.如果多項(xiàng)式使。就稱以為根.顯然，以為根的多項(xiàng)式是很多的，其中次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的以為根的多項(xiàng)式稱為的最小多項(xiàng)式.</p><p>　　首先來介紹的最小多項(xiàng)式的一些基本性質(zhì)[3]：</p>

24、;<p>　?。?）矩陣的最小多項(xiàng)式是唯一的；</p><p>　?。?）數(shù)域上的任一階矩陣都有最小多項(xiàng)式；</p><p>　?。?）設(shè)是矩陣的最小多項(xiàng)式，那么以為根的充分必要條件是整除；</p><p>　　（4）設(shè)是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣</p><p><b>　　，</b></p><

25、p>　　并設(shè)的最小多項(xiàng)式為，那么的最小多項(xiàng)式為的最小公倍式.</p><p>　　推論1：矩陣的次冪（）可表示為的階多項(xiàng)式。</p><p><b>　　證明：由于</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　　令</b></p&

26、gt;<p><b>　　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　當(dāng)更大時(shí)（），亦以此類推，故結(jié)論成立 ▍</p><p>　　推論2：可以表示為的階多項(xiàng)式</p><p><b>　　，

27、 </b></p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p><b>　

28、　▍</b></p><p>　　哈密頓—?jiǎng)P萊定理在是一個(gè)非常重要的結(jié)論，它本身就是一個(gè)把矩陣零化的公式，在解決有關(guān)矩陣零化的問題中有著非常重要的運(yùn)用，同時(shí)，該公式在解決其他問題中也有著非常巧妙的運(yùn)用，會(huì)省去許多麻煩，在此列舉一個(gè)小例子來說明哈密頓—?jiǎng)P萊定理的巧妙運(yùn)用，其詳細(xì)的運(yùn)用可見參考文獻(xiàn)[4].</p><p><b>　　例2：設(shè)</b></

29、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　且，求.</b></p><p>　　解：先求出矩陣的特征多項(xiàng)式則</p><p>　　再用去除（帶余除法）得</p><p>　　又由哈密頓—?jiǎng)P萊定理得</p><p><b>

30、　　從而</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　. ▌</p><p>　　3矩陣矩陣指數(shù)及基解矩陣</p&

31、gt;<p>　　陣指數(shù)可以使用多種的多項(xiàng)式來表示，除了哈密頓—?jiǎng)P萊（Hamilton—Cayley）定理推論2的方法，在這里介紹一種比較簡(jiǎn)單的表示方法，而且要具體求出這種表示方法，就需要借助求出的特征多項(xiàng)式以及特征值來計(jì)算.為了說明這個(gè)問題，我們可以從簡(jiǎn)單的情況開始，先了解一下矩陣指數(shù)[5].</p><p>　　如果是一個(gè)階常數(shù)矩陣，我們定義矩陣指數(shù)為下面的矩陣級(jí)數(shù)的和：</p>

32、<p><b>　　，</b></p><p>　　其中為階單位矩陣，是矩陣的次冪.這里我們規(guī)定.這個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)于所有的都是收斂的，因而是一個(gè)確定的矩陣.特別地，對(duì)于所有元素均為0的零矩陣，有.</p><p>　　很容易得到，矩陣指數(shù)有以下性質(zhì)，具體可見參考文獻(xiàn)[6].</p><p>　?。?）如果矩陣是可交換的，即，則</p&

33、gt;<p><b>　　.</b></p><p>　?。?）對(duì)于任何矩陣，存在，且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　（3）如果是非奇異矩陣，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　在了

34、解矩陣指數(shù)之后，我們現(xiàn)在來討論矩陣指數(shù)，這個(gè)矩陣指數(shù)在討論齊次線性微分方程組的基解矩陣的結(jié)構(gòu)有著非常重要的運(yùn)用（這里是階常數(shù)矩陣），因?yàn)槲覀冇腥缦露ɡ恚?lt;/p><p>　　定理3.1：矩陣是線性微分方程組的基解矩陣，并且.</p><p>　　該定理是常微分方程里一個(gè)主要的定理，很容易證明，那么對(duì)于任意一個(gè)線性微分方程組，我們?nèi)绾吻笃浠饩仃?？這里就可以運(yùn)用到矩陣的特征多項(xiàng)式及其特征值.

35、</p><p>　　首先，我們來討論當(dāng)具有個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)（特別當(dāng)具有個(gè)不同的特征值時(shí)），微分方程組的基解矩陣的計(jì)算方法.</p><p>　　定理3.2：如果矩陣具有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為，那么矩陣</p><p>　　就是常系數(shù)線性微分方程組（*）的一個(gè)基解矩陣.</p><p>　　證明：顯然，每一個(gè)向量函

36、數(shù)都是常系數(shù)線性微分方程組（*）的一個(gè)解.因此，矩陣</p><p>　　是常系數(shù)線性微分方程組（*）的一個(gè)解矩陣.因?yàn)橄蛄渴蔷€性無關(guān)的，所以，進(jìn)而推出是線性微分方程組（*）的一個(gè)基解矩陣.定理證畢. ▍</p><p>　　例3：試求常系數(shù)線性微分方程組，其中的一個(gè)基解矩陣.</p><p>　　解：的特征方程為，從而得到的特征值為，</

37、p><p>　　對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，</p><p>　　對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為</p><p>　　那么根據(jù)上述定理，矩陣</p><p>　　就是該微分方程組的一個(gè)基解矩陣. ▍</p><p>　　現(xiàn)在進(jìn)一步討論當(dāng)時(shí)任意的矩陣時(shí)，線

38、性微分方程組的基解矩陣的計(jì)算方法.由于這是常微分方程里的理論，且較為繁瑣，在這里就不再給出詳細(xì)的證明，但給出當(dāng)只有一個(gè)特征值時(shí)一個(gè)重要的公式，然后通過簡(jiǎn)單的例子來說明矩陣的特征多項(xiàng)式及特征值在求其基解矩陣中的重要作用[8]. </p><p>　　當(dāng)只有一個(gè)特征值時(shí)，由矩陣指數(shù)的矩陣指數(shù)定義，我們得到：</p><p>　　[9] (1)</p>&

39、lt;p>　　例4：試求常系數(shù)線性微分方程組中矩陣的矩陣指數(shù)其中</p><p><b>　　.</b></p><p>　　解：的特征方程為，因此的特征值為（二重），從而利用公式（1）即得：</p><p><b>　　例5：如果，試求</b></p><p>　　解：的特征方程為，因此的特

40、征值為（5重），直接計(jì)算可得.從而利用公式（1）即得：</p><p><b>　　這樣一來，</b></p><p>　　4 對(duì)角矩陣及矩陣的對(duì)角化</p><p>　　4.1 矩陣的相似對(duì)角形</p><p>　　在這一節(jié)中，我們主要學(xué)習(xí)矩陣的相似，然后利用矩陣的特征多項(xiàng)式及特征值來求出滿足某些條件的矩陣的相似對(duì)角

41、形，為此，我們先引入矩陣相似的概念及其性質(zhì).</p><p>　　定義4.1：設(shè)數(shù)域上的兩個(gè)級(jí)方陣，如果可以找到數(shù)域上的級(jí)可逆矩陣，使得，就說相似于，記作.</p><p>　　相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面三個(gè)性質(zhì)：</p><p><b>　　1、反身性：.</b></p><p><b>　　

42、這是因?yàn)?lt;/b></p><p>　　2、對(duì)稱性：如果，那么.</p><p>　　如果，那么存在，使得.令，就有，所以.</p><p>　　3、傳遞性：如果，那么.</p><p>　　已知有，使.令，就有，從而.</p><p>　　定理4.1：設(shè)是維線性空間V的一個(gè)線性變換，的矩陣可以再某一組基下為

43、對(duì)角矩陣的充分必要條件是，有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。</p><p>　　證明：設(shè)在基下具有對(duì)角矩陣</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　這就是說，</b></p><p>　　因此，就是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量.</p><p>　　反過來，如

44、果有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么就取為基，顯然在這組基下的矩陣就是對(duì)角矩陣. ▍</p><p>　　定理4.2：屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的[10].</p><p>　　證明：對(duì)特征值的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。由于特征向量是不為零的，所以單個(gè)的特征向量必然線性無關(guān).現(xiàn)在設(shè)屬于個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān)，我們證明屬于個(gè)不同特征值的特征向量也線性無關(guān).<

45、;/p><p><b>　　假設(shè)有關(guān)系式 </b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　成立，等式兩端乘以，得 </p><p><b>　?。?）</b></p><p>　?。?）式兩端同時(shí)施行線性變換，即有</p&g

46、t;<p><b>　　（3）</b></p><p>　?。?）減去（2）得到</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　根據(jù)歸納法假設(shè)，向量線性無關(guān)，于是</p><p>　　但是所以這是（1）式變成，又因?yàn)椋灾挥?這就證明了也線性無關(guān).</p>

47、;<p>　　根據(jù)歸納法原理，定理得證. ▍</p><p>　　下面是它的一些推論，我們可以由這些推論來利用特征多項(xiàng)式及特征值來解決相關(guān)問題.</p><p>　　推論1：如果在維線性空間中，線性變換的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中有個(gè)不同的根，即有個(gè)不同的特征值，那么線性變換在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。即線性變換對(duì)應(yīng)

48、的矩陣此時(shí)相似于某個(gè)對(duì)角形矩陣。</p><p>　　推論2：在復(fù)數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，那么在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。</p><p>　　推論3：很顯然，當(dāng)線性變換在一組基下的矩陣是對(duì)角形時(shí)：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　的特征多項(xiàng)式就

49、是</b></p><p>　　因此，如果線性變換在一組基下的矩陣是對(duì)角形，那么主對(duì)角線上的元素除排列次序外是確定的，它們正是A的特征多項(xiàng)式全部的根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.</p><p>　　例6：在第一節(jié)例1中，已經(jīng)算出線性變換的特征值是-1（二重）與5，而對(duì)應(yīng)的特征向量是</p><p>　　由此可見，在基下的矩陣為對(duì)角矩陣</p>&l

50、t;p><b>　　,</b></p><p><b>　　而由到的過渡矩陣是</b></p><p><b>　　于是</b></p><p>　　. ▍</p><p>　　4.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的合同對(duì)角形<

51、;/p><p>　　定義4.2: 數(shù)域上階矩陣稱為合同的，如果有數(shù)域上的可逆的階矩陣</p><p><b>　　，使得.</b></p><p>　　合同是矩陣之間的一個(gè)關(guān)系。不難看出，合同關(guān)系具有</p><p><b>　?。?）反身性，即；</b></p><p>　?。?/p>

52、2）對(duì)稱性，即若，則有</p><p>　?。?）傳遞性，若和，則有</p><p>　　矩陣的相似或矩陣的合同都有很多性質(zhì)，但這些性質(zhì)都是矩陣相似或矩陣合同的必要條件，只能排除矩陣的相似或合同，卻不能確定矩陣的相似或合同，同時(shí)，對(duì)于一般的矩陣，通過特征多項(xiàng)式及特征值，只能求出它的相似對(duì)角形，卻不能求出與它合同的對(duì)角形矩陣.而對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，我們就可以通過特征多項(xiàng)式及特征值求出與它合同的對(duì)

53、角形矩陣.為此，我們先引入一類特殊的矩陣——正交矩陣</p><p>　　定義4.3: 級(jí)實(shí)數(shù)矩陣稱為正交矩陣，如果.</p><p>　　有了正交矩陣的定義，我們就可以得到，對(duì)于任意一個(gè)級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，都存在一個(gè)級(jí)正交矩陣，使得成為對(duì)角形矩陣. 此時(shí)，對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣就可以通過特征多項(xiàng)式及特征值來求出與之合同的對(duì)角形矩陣.</p><p>　　為了得到這個(gè)結(jié)論，先通過

54、幾個(gè)引理來討論對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì).</p><p>　　引理1：設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則的特征值皆為實(shí)數(shù).</p><p>　　引理2：設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，的定義如上，則對(duì)于任意的，有</p><p><b>　　，或者</b></p><p>　　等式把實(shí)對(duì)稱矩陣的特性反映到線性變換上，我們引入</p><p

55、>　　定義4.4：歐氏空間滿足等式的線性變換稱為對(duì)稱變換.</p><p>　　容易看出，對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣.用對(duì)稱變換來反映實(shí)對(duì)稱矩陣，一些性質(zhì)可以看得更清楚.</p><p>　　引理3：設(shè)是對(duì)稱變換，是子空間，則也是子空間</p><p>　　引理4：設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量必正交.</p>&l

56、t;p>　　現(xiàn)在來證明運(yùn)用特征多項(xiàng)式以及特征值來求與某一對(duì)角矩陣合同的對(duì)角形矩陣，然后討論求這種對(duì)角矩陣的主要步驟.</p><p>　　定理4.3: 對(duì)于任意一個(gè)級(jí)實(shí)數(shù)矩陣，都存在一個(gè)級(jí)正交矩陣 ,使得成為對(duì)角形矩陣.</p><p>　　證明：由于實(shí)對(duì)稱矩陣和對(duì)稱變換之間的關(guān)系，只要證明對(duì)稱變換有個(gè)特征向量做成標(biāo)準(zhǔn)正交基就行了.</p><p>　　現(xiàn)在對(duì)

57、空間的維數(shù)做數(shù)學(xué)歸納法.</p><p>　　，定理的結(jié)論顯然是成立的.</p><p>　　設(shè)時(shí)定理的結(jié)論成立.對(duì)于維歐式空間，線性變換有一個(gè)特征向量，其特征值為實(shí)數(shù).把單位化，還用代表它.作的正交補(bǔ)，設(shè)為.由引理3，是的不變子空間，其維數(shù)為.又也滿足，仍是對(duì)稱變換.根據(jù)歸納法假設(shè)，有個(gè)特征向量做成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.從而是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，又是的個(gè)特征向量.定理得證.

58、 ▍</p><p>　　下面來看看在給定了實(shí)一個(gè)對(duì)稱矩陣之后，按什么辦法求正交矩陣，使得成為對(duì)角形矩陣.在定理的證明過程中我們看到，矩陣按照在中定義了一個(gè)線性變換.求正交矩陣的問題就相當(dāng)于在中求一組由的特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.事實(shí)上，設(shè)</p><p>　　是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是的特征向量.顯然，由到的過渡矩陣就是</p><p><b>

59、;　　.</b></p><p>　　是一個(gè)正交矩陣，而就是對(duì)角形矩陣.</p><p>　　根據(jù)上面的討論，正交矩陣的求法可以按照以下的步驟進(jìn)行：</p><p>　　1、求出的特征值.設(shè)是的全部不同的特征值.</p><p>　　2、對(duì)于每個(gè)，解齊次線性方程組，求出一個(gè)基礎(chǔ)解系，這就是的特征子空間的一組基.由這組基出發(fā)，就可以

60、求出的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.</p><p>　　3、因?yàn)閮蓛刹煌愿鶕?jù)引理4，向量組還是兩兩正交的.又根據(jù)上面所證明的定理，它們的個(gè)數(shù)就等于空間的維數(shù).因此，它們就構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且也都是的特征向量.這樣，正交矩陣也就求出了.</p><p><b>　　例7：已知</b></p><p>　　求出一正交矩陣使成對(duì)角形.</p&g

61、t;<p>　　解：先求出的特征值.由</p><p>　　即得的特征值為（三重），.</p><p>　　其次，求屬于1的特征向量.把代入</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　求得基礎(chǔ)解系為</b></p><p><

62、b>　　把它們正交化，得</b></p><p><b>　　再單位化，得</b></p><p>　　這是屬于三重特征值三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.</p><p>　　再求屬于的特征向量.用代入（*）式求得其基礎(chǔ)解系為.</p><p><b>　　把它單位化，得.</b><

63、/p><p>　　特征向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所求的正交矩陣為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　而</b></p><p>　　. ▍</p><p>　　4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣合同與相似之間的關(guān)系</

64、p><p>　　定理4.4 如果與都是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且有相同的特征根.則，既相似又合同.</p><p>　　證明: 設(shè),的特征根均為，因?yàn)闉殡A實(shí)對(duì)稱矩陣，則一定存在一個(gè)階正交矩陣,使得：</p><p>　　同理，一定可以找到一個(gè)正交矩陣，使得：</p><p><b>　　，</b></p><p&

65、gt;<b>　　從而有：</b></p><p>　　將上面兩邊分別左乘右乘，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b

66、>　　有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以，可逆.</b></p><p><b>　　又由于</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所

67、以，是正交矩陣，故，相似且合同.</p><p>　　定理4.5 若階矩陣，中有一個(gè)是正交矩陣，則與相似且合同.</p><p>　　證明：不妨設(shè)是正交矩陣，則可逆，取,</p><p>　　所以，與相似，由于與正交相似，故與合同.</p><p>　　定理4.6 若與相似且合同，與相似且合同，則與</p><p>

68、<b>　　相似且合同.</b></p><p>　　證明：　因?yàn)椋嗨?，，相似，故存在可逆矩?使得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　令, 則，</b></p><p><b>　　且</b></p>&

69、lt;p><b>　　故與相似.</b></p><p>　　又因?yàn)榕c，與分別合同，故存在可逆矩陣，使得</p><p><b>　　令，則.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　.</b></p>

70、<p><b>　　故與合同 .</b></p><p>　　從上面這個(gè)定理我們可以得到，若與，與分別正交相似，則</p><p><b>　　與相似且合同.</b></p><p>　　4.4 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>　　最后指出，除了實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于一般矩陣，并不是所

71、有的矩陣在某一數(shù)域中都有相似的對(duì)角形矩陣，也就是說并不是對(duì)于每一個(gè)線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣為對(duì)角形矩陣.甚至對(duì)于同一個(gè)實(shí)數(shù)矩陣，在某一個(gè)數(shù)域里有與其相似的對(duì)角矩陣，而在另一個(gè)數(shù)域里就沒有與其相似的對(duì)角形矩陣.為此，我們引入若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，進(jìn)而探討在某一數(shù)域里，任一矩陣在某組基下可以化成與之相似的矩陣的最簡(jiǎn)形式. </p><p>　　根據(jù)的理論推導(dǎo)，容易算出若爾當(dāng)塊</p><p

72、><b>　　的初等因子為.</b></p><p>　　設(shè)是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣，其中</p><p><b>　　.</b></p><p>　　顯然的全部初等因子是，換句話說，每個(gè)若爾當(dāng)形矩陣的所有初等因子就是由它的所有若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的.由此可見，若爾當(dāng)形矩陣除去其中的若爾當(dāng)塊的排列次序外是被它的初等因子唯

73、一決定的，由此我們可以得到：</p><p>　　定理4.7：每個(gè)級(jí)的復(fù)數(shù)矩陣都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外，是被矩陣唯一確定的，它稱為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形[11].</p><p>　　這個(gè)定理的證明，需要用到的理論推導(dǎo)，在這里就不再詳細(xì)敘述了，但是我們依然可以利用矩陣的特征多項(xiàng)式及特征值來求出與矩陣相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p

74、><b>　　例8：求矩陣</b></p><p><b>　　的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</b></p><p>　　解：先求出的特征值，由</p><p>　　得的特征值為0（三重）和1（一重）</p><p>　　那么由，可以求出它的一個(gè)解為：，</p><p>　　再由，

75、可以求出它的一個(gè)解為：，</p><p>　　再由，可以求出它的一個(gè)解為：，</p><p>　　由，可以求得它的一個(gè)解為：，</p><p>　　將并列成一個(gè)矩陣，顯然有</p><p><b>　　這時(shí)令</b></p><p><b>　　,</b></p>

76、<p>　　顯然有. ▍</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1978.</p><p>　　[2] 張賢科，許甫華. 高等代數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003:157

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79、gt;　　[8] 張俊祖，姜根明，馮復(fù)科.矩陣指數(shù)函數(shù)的一種計(jì)算[J].長(zhǎng)安大學(xué)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，26（1）:85-88.</p><p>　　[9] Alexander Kuckelberg. The Matrix-Index Coding Approach to Efficient Navigation in Persistent Object Stores [J]. Technical

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