具退化性的同宿軌分岔與異宿軌分岔.pdf

1、人們研究同宿軌分岔的問題已有很久的歷史．前人從幾何的觀點出發(fā)，利用Poincaré映射去構(gòu)造Melnikov函數(shù)，函數(shù)的零點就對應(yīng)著同宿軌的保持．人們也常稱該方法為Melnikov方法．后來，人們利用該方法去研究高維系統(tǒng)的退化同(異)宿軌分岔時就顯出許多局限性．80年代初期，由S．N．Chow、J．K．Hale、P．J．Holmes、J．Mallet-Parret、J．E．Marsden和K．J．Palmer等先后發(fā)展起來的、用泛函分析

2、的觀點來處理這類問題．他們的方法是利用Fredholm更替原理來得到Melnikov型函數(shù)：1986年，C．M．Blazquez用Lyapunov-Schmidt約化的方法考慮了一類拋物型方程的同宿軌的分岔問題．在文章中，他沒有考慮同宿軌是退化的情形，而且對擾動系統(tǒng)的周期映射也沒有給出討論。在本文第二章中，我們將研究一類拋物型方程的退化同宿軌在周期擾動下得到保持的條件．我們不僅把C．M．Blazquez的結(jié)果推廣到退化同宿軌，還得到擾動

3、系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的一個判據(jù)．利用Fredholm更替原理，我們得到一個非線性代數(shù)方程組．方程組的零點就對應(yīng)著擾動系統(tǒng)同宿軌得到保持和出現(xiàn)混沌． 關(guān)于退化偏微分方程的退化同(異)宿軌的保持性的研究，是十分重要而且困難的問題。前人研究了一類退化偏微分方程，Sobolev—Galpern方程，的解的存在性、唯一性和光滑性，但沒有考慮這類方程的有界解的分岔．在本文第三章中我們就研究這個退化偏微分方程有界解的保持性．我們采用兩次投影，先將齊次

4、方程的退化部分投影掉、研究非退化部分產(chǎn)生的強解的存在性和唯一性，由強解定義出解算子，即發(fā)展算子；接著，將齊次方程的非退化部分的有界解和無界解投影開、研究發(fā)展算子的指數(shù)二分性．利用指數(shù)二分性，研究非齊次方程的Fredholm更替性定理．在最后我們將研究退化非線性Sobolev-Galpern方程的退化同(異)宿軌的分岔問題，給出有界解得到保持的一個判據(jù)。 在考慮有界解的分岔問題時前人解決了這樣一個問題：在同宿軌是退化的情況下給出擾

5、動系統(tǒng)的0/1分岔，即擾動系統(tǒng)要么不存在要么存在有界解．但不清楚帶退化同宿軌的系統(tǒng)到底能擾動出多少個線性獨立的同宿軌．在本文第四章中，我們給出了擾動系統(tǒng)出現(xiàn)多個同宿軌的一個判據(jù)．實際上，如果未繞系統(tǒng)沿同宿軌的線性變分方程的有界解個數(shù)為d，我們證明了在無窮維空間中存在d個余維為kd的通過零點的分岔流形使得當擾動函數(shù)任意取自于零點附近的集合時，擾動系統(tǒng)一定會出現(xiàn)尼個線性無關(guān)的同宿軌．我們的結(jié)果推廣了擾動系統(tǒng)出現(xiàn)0/1分岔的結(jié)果，解決了擾動系

6、統(tǒng)多個線性無關(guān)有界解并存的問題． 近年來，關(guān)于從同宿軌分岔出次調(diào)和解的問題引起很多學者的興趣。在同宿軌是非退化的情況下，他們研究了偏微分方程、時滯微分方程的次調(diào)和分岔。也有學者研究了常微分方程的退化同宿軌分岔出次調(diào)和解的問題．但他們的方法不能用去研究耦合方程的次調(diào)和分岔．本文第五章中，我們將研究弱耦合方程組在退化同宿軌附近如何分岔出周期解．我們的方法是：先將方程組分成快和慢系統(tǒng)，將慢系統(tǒng)的解用快系統(tǒng)的解表示出來，實現(xiàn)了方程的解耦

7、；再考慮帶退化同宿軌的快系統(tǒng)．我們得到了當耦合系統(tǒng)的同宿軌破裂時，在適當條件下能分岔出次調(diào)和解的判別條件，從而解決了耦合方程的次調(diào)和分岔問題。 中心構(gòu)型的分岔問題是十分重要的，該問題與中心構(gòu)型的個數(shù)有關(guān)．前人發(fā)現(xiàn)了金字塔形的中心構(gòu)型，也發(fā)現(xiàn)了由兩個正多邊形套的中心構(gòu)型的分岔，但由他們的結(jié)果不清楚金字塔形的中心構(gòu)型是否會發(fā)生分岔．本文第六章將研究這個問題．我們把中心構(gòu)型的存在性問題轉(zhuǎn)化為研究向量場平衡點的問題，證明了當N≤472時