同宿環(huán)、異宿環(huán)分支問題及矩陣方程的振動性問題.pdf

1、本文主要研究反轉(zhuǎn)系統(tǒng)中具有傾斜翻轉(zhuǎn)和同時具有軌道翻轉(zhuǎn)和傾斜翻轉(zhuǎn)的異宿環(huán)分支問題,異維環(huán)分支問題,一般動力系統(tǒng)中的同宿風(fēng)箱結(jié)構(gòu)以及線性和超線性矩陣微分方程的振動性. 全文內(nèi)容分為六章. 第一章主要介紹了本論文的研究背景,意義及主要工作. 眾所周知,反轉(zhuǎn)系統(tǒng)在量子力學(xué),流體力學(xué)和光學(xué)等物理學(xué)分支中不僅有著廣泛的應(yīng)用背景,而且有著重要的理論價值.1998年,Champneys A.R.[20]提出一個問題：反轉(zhuǎn)系統(tǒng)是否

2、可以發(fā)生傾斜翻轉(zhuǎn)?其分支情況與軌道翻轉(zhuǎn)的情況下有何不同?受其啟發(fā),本文第二章主要采用文獻(xiàn)[114,115]首先引入并經(jīng)文獻(xiàn)[50-52]等改進(jìn)的方法(即在異宿軌道附近建立局部活動坐標(biāo)系,構(gòu)造新坐標(biāo)系下的Poincaré映射,并導(dǎo)出分支方程的方法),首先對具有傾斜翻轉(zhuǎn)的余維2異宿環(huán)分支進(jìn)行了研究,然后對同時具有軌道翻轉(zhuǎn)和傾斜翻轉(zhuǎn)的余維3異宿環(huán)分支也進(jìn)行了探討. 由文獻(xiàn)[64]可知,具有異維環(huán)的系統(tǒng)是很常見的,而且異維環(huán)的存在性往往

3、隱含著動力學(xué)行為的極端復(fù)雜性.因此,研究異維環(huán)的分支問題也有著極其重要的物理意義和實際背景.本文第三章主要采用先前[114,115]引入的方法研究了四維空間中的異維環(huán)在滿足非通有條件下-軌道翻轉(zhuǎn)和傾斜翻轉(zhuǎn)下的分支問題,給出了異維環(huán)保存及同宿環(huán),周期軌存在的條件與分支曲面.值得一提的是,本文還得到了關(guān)于保存的異維環(huán)與分支出的周期軌共存以及一族周期軌道的存在性結(jié)果,從而揭示了具有傾斜翻轉(zhuǎn)的異維環(huán)與無傾斜翻轉(zhuǎn)的異宿環(huán)(異維環(huán)除外)在分支性態(tài)方

4、面的差別.我們已經(jīng)知道,后者即使在帶有共振,對稱或軌道翻轉(zhuǎn)等退化情況下,也不會有保存的異宿環(huán)與分支出的周期軌道(或同宿軌道)共存的可能性. 近幾年來,在許多物理模型中出現(xiàn)的一種稱為風(fēng)箱結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象引起了許多學(xué)者的注意.這種結(jié)構(gòu)的基本特點就是：兩條同宿軌道沿同一正方向跑出奇點和沿同一負(fù)方向進(jìn)入奇點.著名的水波重力毛細(xì)作用的五階KDV方程就可產(chǎn)生同宿風(fēng)箱結(jié)構(gòu)(homoclinic bellows configuration)[99].

5、實際上,這種結(jié)構(gòu)也經(jīng)常產(chǎn)生于退化的同宿軌道[34,43,57],甚至在軌道翻轉(zhuǎn)的情況下,同宿風(fēng)箱結(jié)構(gòu)也可產(chǎn)生于非退化的同宿軌道[81,88].值得一提的是,有些系統(tǒng)還可以產(chǎn)生異宿風(fēng)箱結(jié)構(gòu)[100].在HomburgA J和Knobloch J.[42,43]的啟發(fā)下,本文第四章對一般動力系統(tǒng)中的同宿風(fēng)箱結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.采用[114,115]中的處理技巧,研究了風(fēng)箱結(jié)構(gòu)在小擾動下的動力學(xué)行為,得到了風(fēng)箱結(jié)構(gòu)的保存性條件,各種不同路徑的同宿

6、軌道和周期軌道的存在性,移位不變曲線族的存在性等結(jié)果,并且給出了相應(yīng)的分支曲面和分支圖. 與已有文獻(xiàn)相比,本文所采用的研究分支問題的方法適用范圍更廣,而且所得的分支方程有較強(qiáng)的可計算性,可以得到更為精細(xì)的研究結(jié)果. 矩陣微分方程振動性理論是微分方程定性理論的重要分支之一,隨著純量微分方程的發(fā)展,許多學(xué)者已經(jīng)致力于它的研究工作.在本文第五章中,我們借助于引入線性積分算子,正線性泛函和次齊次泛函,運用黎卡提技巧和積分平均技術(shù)對帶阻尼