高維空間中的同宿環(huán)和異維環(huán)分支問(wèn)題.pdf

1、本文主要研究四維空間中的具有雙軌道翻轉(zhuǎn)的同宿環(huán)分支問(wèn)題,由具有1維不變子空間的對(duì)合所確定的3維反轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的異維環(huán)分支問(wèn)題,以及近可積耦合非線性Schr(o)dinger(NLS)方程所對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的異宿軌線的存在性,具有偶的周期邊界條件的擾動(dòng)NLS方程的孤立子(同宿軌線)的保存性及其相應(yīng)的混沌性態(tài)問(wèn)題. 第一章主要介紹了本論文的研究背景、意義及主要結(jié)果. 在第二章中研究了雙向分別沿強(qiáng)穩(wěn)定和強(qiáng)不穩(wěn)定方向趨于實(shí)鞍點(diǎn)的同宿

2、軌線的分支問(wèn)題.由于通有性的喪失,這類(lèi)問(wèn)題變得非常復(fù)雜.本章證明了在參數(shù)空間的原點(diǎn)小鄰域內(nèi)存在余維1的同宿軌分支曲面和2重周期軌線分支曲面,同宿軌分支曲面與2重周期軌線分支曲面的交構(gòu)成了余維2的同宿軌與2重周期軌線分支曲面,同時(shí)得到了2個(gè)2重周期軌線分支曲面相交融合而成1個(gè)余維2的3重周期軌線分支曲面,指出了對(duì)任意k

3、用背景的動(dòng)力系統(tǒng)都存在著異維環(huán),異維環(huán)的分支問(wèn)題的研究也有著很重要的理論意義([47,48]).第三章研究了3維反轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的通有的異維環(huán)的分支問(wèn)題,給出了同宿軌線分支、周期軌線和2重周期軌線分支的存在性條件和相應(yīng)的分支曲面,并且還證明了異維環(huán)可以同時(shí)分支出1條周期軌線和1條同宿軌線. 第二章和第三章的研究方法相同,都是通過(guò)構(gòu)造Poincaré映射來(lái)求得分支方程.首先在平衡點(diǎn)的小鄰域內(nèi)選取兩個(gè)同宿或異宿軌線的橫截面,在平衡點(diǎn)小鄰域

4、內(nèi)給出具有盡可能多的不變流形被局部拉直的規(guī)范型表達(dá)式,再利用指數(shù)二分法以及推廣的Floquet方法在同宿或異宿軌線的正則鄰域建立局部活動(dòng)坐標(biāo)系,然后再?gòu)?fù)合導(dǎo)出Poincaré映射,從而獲得后繼函數(shù)和分支方程.這種方法是由文獻(xiàn)[29,33]引入,并由文獻(xiàn)[35,36]等作者改進(jìn)而來(lái)的.與其它研究方法相比,本文采用的方法可以研究很廣泛的分支問(wèn)題,而且分支方程具有較強(qiáng)的可計(jì)算性. 第四章研究了弱耦合非線性Schr(o)dinger系統(tǒng)

5、.運(yùn)用二次擾動(dòng)方法(第一次擾動(dòng)運(yùn)用Melnikov分析方法,第二次擾動(dòng)運(yùn)用不變流形的橫截相交性),證明了原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在小參數(shù)擾動(dòng)下可以分支出許多不同的異宿軌線,其中包括多條單獨(dú)的異宿軌線和一個(gè)2維異宿流形.運(yùn)用貝克隆(b(a)cklund)變換和Lax對(duì)求得未擾NLS方程具有同宿于平面周期波解的大范圍的同宿軌線和連接由平衡點(diǎn)構(gòu)成的奇異環(huán)上某兩個(gè)平衡點(diǎn)的異宿軌線族.在獲得奇異環(huán)面鄰域內(nèi)的不變流形的基礎(chǔ)上,我們導(dǎo)出了耦合NLS方程的M