異維環(huán)和癌癥模型的分支分析.pdf

1、本文切合目前微分方程分支理論的研究狀況，對連續(xù)的高維非線性動力系統(tǒng)分支理論中尚很少涉及卻更一般的異維環(huán)分支問題進行了較深入的理論分析，并運用分支理論解釋了一類癌癥模型中出現(xiàn)的分支現(xiàn)象．全文工作共分五章內(nèi)容。
　　第一章主要概括了本文研究工作的背景和意義，并簡要敘述了研究工作的主要內(nèi)容．具有異維環(huán)的動力系統(tǒng)比較常見(見[66])，這些系統(tǒng)由于異維環(huán)的存在往往蘊含著非常復(fù)雜的動力學(xué)行為，因此對異維環(huán)分支問題的研究也有著重要的應(yīng)用價值和

2、理論意義．
　　本文對于異維環(huán)分支問題的研究安排在第二和第三兩章．具體地說，在第二章中我們研究了三維空間中非扭曲異維環(huán)的退化分支，包括非共振的異維環(huán)和具有共振的異維環(huán)兩種情況．利用文獻[114]發(fā)展的方法，我們在異維環(huán)Γ的正則管狀鄰域內(nèi)建立由不變流形的切向量叢和異維環(huán)的主法向叢構(gòu)成的活動標(biāo)架．由于這樣的坐標(biāo)架本身既繼承了相應(yīng)的不變流形的幾何不變性，又延續(xù)了系統(tǒng)內(nèi)在的包括壓縮性和擴張性在內(nèi)的動力學(xué)性質(zhì)，故在此坐標(biāo)架下由方程在Γ的正則

3、鄰域內(nèi)的解所誘導(dǎo)的解映射(全局映射)就變得格外簡潔明了．
　　另一方面通過引入Shilnikov坐標(biāo)變量([22])和局部標(biāo)準(zhǔn)型給出了擾動系統(tǒng)在平衡點鄰域內(nèi)由解所誘導(dǎo)的局部映射．復(fù)合兩次所得映射，得到了Γ附近的Poincar(?)映射和相應(yīng)的分支方程．對于退化的非扭曲異維環(huán)，通過求解高度退化的分支方程，我們得出了相當(dāng)豐富的分支結(jié)果，其中包括一族異維環(huán)分支曲面的存在，這個結(jié)論是等維異宿環(huán)的分支所不具有的，從而揭示了異維環(huán)與等維環(huán)在分

4、支性態(tài)方面存在著很大的差別．本章還給出了非共振情形下完整的分支圖．以上所用方法后來經(jīng)文獻[51]等改進后，適用范圍更廣泛，而且分支方程的求解比較容易實現(xiàn)．第三章就是將推廣后的方法運用到四維非線性系統(tǒng)中具有強傾斜翻轉(zhuǎn)的非通有異維環(huán)的分支研究上．強退化分支方程的解證實了在該類異維環(huán)的各種分支樣式中包含異維環(huán)和同宿環(huán)的共存性，異維環(huán)和周期軌的共存性以及連接不同鞍點的同宿環(huán)的共存性等等，其結(jié)果遠遠比三維的異維環(huán)或者高維的非異維環(huán)的情況豐富，充分

5、體現(xiàn)了具有異維環(huán)的高維系統(tǒng)動力學(xué)行為的極端復(fù)雜性．
　　癌癥模型中的分支應(yīng)用在第四章和第五章可見，第四章考慮由淋巴細(xì)胞和癌細(xì)胞相互作用的二維癌癥模型在退化的正平衡點附近的分支情況．經(jīng)過平面的分支理論分析我們得出，無論有無血管生成，退化平衡點經(jīng)系統(tǒng)參數(shù)的小擾動都將發(fā)生余維2的Bogdanov-Takens分支．本文的理論結(jié)果更正了已有的關(guān)于退化平衡點附近軌道走向的錯誤結(jié)論([1，68])．第五章討論三維癌癥模型中Hopf分支點處的退