3.1中值定理

1、第一節(jié)第一節(jié)中值定理中值定理教學(xué)目的：理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學(xué)目的：理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教學(xué)重點：羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。教學(xué)重點：羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。教學(xué)過程：教學(xué)過程：一、羅爾定理一、羅爾定理定理定理1：若函數(shù)f(x)滿足：（i）f(x)在[ab]上連續(xù)；（ii）f(x)在（ab）可導(dǎo)，（iii）f(a)=f(b)則在（ab）內(nèi)至少存在一點，使得f()=

2、0.?證明證明：由（i）知f(x)在[ab]上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時，又有二種情況：（1）M=m，即f(x)在[ab]上得最大值和最小值相等，從而知，此時f(x)為常數(shù)：f(x)＝M=m，＝0，因此，可知為（ab）內(nèi)任一點，都有f()?)(xf??＝0。（2）Mm此時M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設(shè)Mf(a)（對m?f(a)同理證明），這時必然在（ab）內(nèi)存在一點，使得f()=M即f(x)

3、???在點得最大值。下面來證明：f()=0??首先由（ii）知f()是存在的，由定義知：?f()=…….()?????????????xMxfxfxfxx)(lim)()(lim因為為最大值，對有f(x)Mf(x)－M0M?x????當(dāng)x時，有0?????????xMxfxfxf)()()(?當(dāng)x時，有0。?????????xMxfxfxf)()()(?又因為（﹡）的極限存在，知（﹡）極限的左、右極限都存在，且都等于，)(?f?即，然而

4、，又有)()()(_???fff??????0)()(lim)()(???????????????xfxfffx和。0)()(lim)()(???????????????xfxfffx0)(????f2：定理中的結(jié)論，可以寫成，此式也稱為拉))(()()(abfafbf?????)(ba???格朗日格朗日公式，其中可寫成：???????)10()(???aba……(3))))((()()(ababafafbf???????若令……(4)

5、hhafafhafhab)()()(?????????3：若，定理中的條件相應(yīng)地改為：在上連續(xù)，在內(nèi)可ba?)(xf][ab)(ab導(dǎo)，則結(jié)論為：也可寫成))(()()(bafbfaf?????))(()()(abfafbf?????可見，不論哪個大，其拉格朗日拉格朗日公式總是一樣的。這時，為介于之間的ba?ba一個數(shù)，(4)中的不論正負，只要滿足條件，(4)就成立。h)(xf4：設(shè)在點處有一個增量，得到點，在以和為端點的區(qū)間上xx?x

6、x??xxx??應(yīng)用拉格朗日拉格朗日中值定理，有xxxfxfxxf?????????)()()(?)10(???即這準(zhǔn)確地表達了和這兩個增量間的關(guān)系，故xxxfy???????)(?y?x?該定理又稱為微分中值定理。5：幾何意義：如果曲線在除端點外的每一點都有不平行于軸的切)(xfy?y線，則曲線上至少存在一點，該點的切線平行于兩端點的聯(lián)線。由定理還可得到下列結(jié)論：推論1：如果在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則在上是一個常數(shù)。)(xfy?I)(x