微分中值定理論文

1、引言通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)我們知道，微分學(xué)在數(shù)學(xué)分析中具有舉足輕重的地位，它是組成數(shù)學(xué)分析的不可缺失的部分。對(duì)于整塊微分學(xué)的學(xué)習(xí)，我們可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是構(gòu)成它理論基礎(chǔ)知識(shí)的一塊非常重要的內(nèi)容。由此可知，對(duì)于深入的了解微分中值定理，可以讓我們更好的學(xué)好數(shù)學(xué)分析。通過(guò)對(duì)微分中值定理的研究，我們可以得到它不僅揭示了函數(shù)整體與局部的關(guān)系，而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的基礎(chǔ)。微分中值定理是一系列中值定理總稱，但本文主要

2、是以拉格朗日定理、羅爾定理和柯西定理三個(gè)定理之間的關(guān)系[13]以及它們的推廣為研究對(duì)象，利用它們來(lái)討論一些方程根（零點(diǎn)）的存在性和對(duì)極限的求解問(wèn)題，以及一些不等式的證明。中值定理的內(nèi)容及聯(lián)系基本內(nèi)容[4][5]對(duì)于，微分中值定理的了解，我們了解到它包含了很多中值定理，可以說(shuō)它是一系列定理的總稱。而本文主要是以其中的三個(gè)定理為對(duì)象，進(jìn)行探討和發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。它們分別是“羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（C

3、auchy）定理”。這三個(gè)定理的具體內(nèi)容如下：Rolle定理若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，??fx??ab??ab????fafb???ab??使。??0f???Lagrange定理若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，使??fx??ab??ab??ab??????????=fbfafba????Cauchy定理設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)??fx??gx??ab??ab??0gx??，使得??ab??。???

4、?????????fbfafgbgag???????三個(gè)中值定理之間的關(guān)系現(xiàn)在我們來(lái)看這三個(gè)定理，從這三個(gè)定理的內(nèi)容我們不難看出它們之間具有一定的關(guān)系。那它們之間具體有什么樣的關(guān)系呢？我們又如何來(lái)探討呢？這是我們要關(guān)心的問(wèn)題，我們將利用推廣和收縮的觀點(diǎn)來(lái)看這三個(gè)定理。首先我們先對(duì)這三個(gè)定理進(jìn)行觀察和類比，從中可以發(fā)現(xiàn)，如果把羅爾定理中的這一條件給去掉的話，那么定理就會(huì)變成????fafb?為拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加這

5、一條件的話，顯然就????fafb?2，使成立至少存在一點(diǎn)??01????0g???令，有，而.??????????0f?????????210???????，使成立至少存在一點(diǎn)??a??????0f???證畢定理2若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且，至少??fx????????????????limlimxxfxfx???????存在一點(diǎn)，使成立。??????????0f???定理2的證明可以參照定理1。定理3若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且，則至

6、少存在??fx??a????a????limxfxM????一點(diǎn)，使??a????成立。??????21Mfafa???????????證明：設(shè)，則，即可得到關(guān)于參數(shù)函數(shù)11txa???11xat???t??11tat????當(dāng)時(shí)，則??xa?????01t?即，，再令??1a????0limtt???????????fxftgt??????????????00limlimlimttxgttfxM?????????????00limtg