傳統(tǒng)考點(中值定理)

1、【第1頁共8頁】微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構造微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構造摘要：摘要：本文總結了證明微分中值命題時常用的六種構造輔助函數(shù)的方法，并給出了具體的應用.關鍵詞：關鍵詞：輔助函數(shù)；原函數(shù)；不定積分；羅爾定理利用微分中值定理解決問題時，通常需要構造一個輔助函數(shù)，由這個輔助函數(shù)滿足某個中值定理的條件而得到要證明的結論，而構造性方法是高等數(shù)學中一個重要的分析技巧，這往往成為解題的難點所在本文主要介紹證明微分中值命題時常用的六種

2、構造輔助函數(shù)的方法1原函數(shù)法原函數(shù)法此法是將結論變形并向羅爾定理的結論靠攏，湊出適當?shù)脑瘮?shù)作為輔助函數(shù)，主要思想分為四點：(1)將要證的結論中的換成；(2)通過恒等變形將結論化?x為易消除導數(shù)符號的形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)（等式中不含導數(shù)符號），并取積分常數(shù)為零；(4)移項使等式一邊為零，另一邊即為所求輔助函數(shù)()Fx例1：證明柯西中值定理分析：在柯西中值定理的結論中令，得()()()()()()fbfafgbgag??

3、???x??，先變形為再兩邊同時積分得()()()()()()fbfafxgbgagx???()()()()()()fbfagxfxgbga???A，令，有故()()()()()()fbfagxfxCgbga????A0C?()()()()0()()fbfafxgxgbga????A為所求輔助函數(shù)()()()()()()()fbfaFxfxgxgbga????A例2：若…是使得的實數(shù)證明方程0a1a2ana1200231naaaan??

4、????…在（0，1）內(nèi)至少有一實根20120nnaaxaxax?????…【第3頁共7頁】，所以()()()fxdxgdxfx??????1[()][()]ln()()()dfxdgxfxgxCfx????????，其中，由()(())exp(())exp()fxexpgxCgxC?????Aexp(())Kgx??exp()KC?可得由上面積分的推導可知，()(())fxKexpgx??()exp(())Kfxgx?為一常數(shù)，故其導

5、數(shù)必為零，從整個變形過程知，滿足這樣結論的()exp(())fxgxK的存在是不成問題的因而令，易驗證其滿足羅爾定理的條?()()exp(())Fxfxgx?件，原題得證3幾何直觀法幾何直觀法此法是通過幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的關系，從而建立適當?shù)妮o助函數(shù)例5：證明拉格朗日中值定理分析：通過弦兩個端點的直線方程為AB，則函數(shù)()()()()fbfayfaxaba?????()fx與直線AB的方程之差即函數(shù)在兩()()()()

6、[()()]fbfaFxfxfaxaba??????個端點處的函數(shù)值均為零，從而滿足羅爾定理的條件故上式即為要做輔助函數(shù)例6：若在上連續(xù)且試證在內(nèi)至少有一點()fx[]ab()()faafbb??()ab?，使()f???分析：由圖可看出，此題的幾何意義是說，連續(xù)函數(shù)的圖形曲線必跨越這一條()yfx?yx?直線，而兩者的交點的橫坐標，恰滿足?()f???進而還可由圖知道，對上的同一自變量值[]ab，這兩條曲線縱坐標之差構成一個新的x()