中值定理習題-郭奮卓

1、1第三章中值定理與導數(shù)的應用1.設在上連續(xù)，在(01)內(nèi)可導，求證：存在)(xf]10[0)1()0(??ff1)21(?f使.)10(??1)(???f證明：令，則在上連續(xù)，在(01)內(nèi)可導，，xxfxF??)()()(xF]10[0)0(?F，.由連續(xù)函數(shù)的介值定理，，，又根據(jù)羅爾1)1(??F21)21(?F)121(0??x0)(0?xF定理，，，即.)0(0x???0)(???F1)(???f2.求證：若在上可導，，則對介于與

2、之間的任意)(xf][ba)()(bfaf?????)(af??)(bf??值，有，使.（導函數(shù)的介值定理）c)(ba??cf??)(?證明：無妨設，令，則，.)()(bfcaf??????cxxfxF??)()(0)(???aF0)(???bF在上可導，必連續(xù)，因此有最小值，，否則)(xF][ba)(?Fa??矛盾??；，否則矛0)()(lim)(????????axaFxFaFaxb??0)()(lim)(????????bxbFxF

3、bFbx盾！因此.由Fermat定理，，即.)(ba??0)(???Fcf??)(?3.設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，，在上不恒為常數(shù).)(xf][ba)(ba)()(bfaf?)(xf][ba求證：，使，.)(21ba????0)(1???f0)(2???f證明：在上連續(xù)，因此有最大值，最小值.由題意)(xf][baMxf?)(1mxf?)(2，因為，所以，或.無妨設mM?)()(bfaf?)()(bfafM??mbfaf??)()(，由La

4、grange中值定理可知，，)()(bfafM??)(11xa???；，0)()()()(1111????????axafMaxafxff?)(12bx???.0)()()()(1112????????xbMbfxbxfbff?4.設，證明：，使.012??xx)(21xx???)()1(212112xxeexexxx??????3解：xxxln0)1(lim???)1ln(ln0limxxxe????????)1ln(lnlim0xx

5、x????xxxln)(lim0????xxx1lnlim0?????2011limxxx0lim0???xx1)1(limln0????xxx9.求21)tan(lim0xxxx?解：21)tan(lim0xxxx?xxxxetanln102lim??xxxxtanln1lim20?)tan1ln(1lim20xxxxx????30tanlimxxxx???3131seclim220????xxx31021)tan(limexxxx?