三角恒等變換（a）

1、<p>　　第3章　三角恒等變換(A)</p><p>　　(時(shí)間：120分鐘　滿分：160分)</p><p>　　一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)</p><p>　　1．(cos －sin )(cos ＋sin )＝________.</p><p>　　2.的值是________．</p>

2、<p>　　3．已知sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，且x，y為銳角，則sin(x＋y)＝________.</p><p>　　4．設(shè)a＝sin 14°＋cos 14°，b＝sin 16°＋cos 16°，c＝，則a、b、c按從小到大的順序排列為_(kāi)_______．</p><p>　　5．已知sin(45°＋

3、α)＝，則sin 2α＝________.</p><p>　　6．若sin x－sin y＝－，cos x－cos y＝，則cos(x－y)的值是________．</p><p>　　7．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，則θ的取值集合是________．</p><p>　　8．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，

4、則tan θ的值為_(kāi)_______．</p><p>　　9．函數(shù)y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值為_(kāi)_____．</p><p>　　10．化簡(jiǎn)：＝________.</p><p>　　11．已知sin α＝cos 2α，α∈(，π)，則tan α＝______.</p><p>　　12．若＝3，tan(α－β)＝2，

5、則tan(β－2α)＝________.</p><p>　　13．函數(shù)y＝sin＋cos的圖象中相鄰對(duì)稱軸的距離是________．</p><p>　　14．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈(0，)，β∈(－，0)，則sin α＝________.</p><p>　　二、解答題(本大題共6小題，共90分)</p><p>

6、　　15．(14分)已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的兩根，且0<α<，π<β<.</p><p>　　求：tan(α＋β)及α＋β的值．</p><p>　　16．(14分)已知函數(shù)f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.</p><p>　　(1)求f()的值；</p><p>　　

7、(2)求f(x)的最大值和最小值．</p><p>　　17．(14分)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.</p><p>　　(1)求tan α的值；</p><p>　　(2)求cos的值．</p><p>　　18．(16分)已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos

8、2x.</p><p>　　(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；</p><p>　　(2)若關(guān)于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．</p><p>　　19．(16分)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．</p><p>　　(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間[0，]上的最大

9、值和最小值；</p><p>　　(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值．</p><p>　　20．(16分)已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.</p><p>　　(1)求sin α的值；(2)求β的值．</p><p>　　第3章　三角恒等變換(A)</p>&l

10、t;p><b>　　1.</b></p><p>　　解析　(cos －sin )(cos ＋sin )</p><p>　?。絚os2 －sin2＝cos ＝.</p><p><b>　　2．1</b></p><p><b>　　解析　∵＝</b></p>

11、;<p>　?。絫an 45°＝1，</p><p><b>　　∴＝1.</b></p><p><b>　　3．1</b></p><p>　　解析　∵sin x－siny＝－，cos x－cos y＝，兩式相加得：</p><p>　　sin x＋cos x＝sin y

12、＋cos y，</p><p>　　∴sin 2x＝sin 2y，</p><p>　　又∵x，y均為銳角且x≠y，</p><p>　　∴2x＝π－2y，x＋y＝，</p><p>　　∴sin(x＋y)＝1.</p><p><b>　　4．a(chǎn)<c<b</b></p>

13、<p>　　解析　a＝sin 59°<×＝，a<c.</p><p>　　b＝sin 61°>×＝，b>c.</p><p><b>　　從而a<c<b.</b></p><p><b>　　5．－</b></p><

14、;p>　　解析　sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，</p><p>　　∴sin α＋cos α＝.</p><p>　　兩端平方，∴1＋sin 2α＝，</p><p>　　∴sin 2α＝－.</p><p><b>　　6.</b></p><p&g

15、t;<b>　　解析　由</b></p><p><b>　?、?＋②2得</b></p><p>　　2－2(sin xsin y＋cos xcos y)＝.</p><p>　　∴cos(x－y)＝.</p><p><b>　　7.</b></p><

16、p>　　解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)</p><p><b>　?。?sin.</b></p><p>　　f(0)＝2sin＝0.</p><p>　　∴＋θ＝kπ，即θ＝kπ－，k∈Z.</p><p><b>　　8．－</b></p><p

17、>　　解析　∵π<2θ<2π，</p><p><b>　　∴<θ<π，</b></p><p>　　則tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，</p><p>　　化簡(jiǎn)得tan2θ－tan θ－＝0，</p><p>　　解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，</p>

18、<p><b>　　∴tan θ＝－.</b></p><p><b>　　9.＋1</b></p><p>　　解析　y＝2sin2x＋2sin xcos x</p><p>　　＝1－cos 2x＋sin 2x</p><p>　?。絪in(2x－)＋1，</p>&l

19、t;p><b>　　∴ymax＝＋1.</b></p><p><b>　　10．tan 2α</b></p><p><b>　　解析　原式＝</b></p><p><b>　　＝＝tan 2α.</b></p><p><b>　　1

20、1．－</b></p><p>　　解析　∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α</p><p>　　∴2sin2α＋sin α－1＝0，</p><p>　　∴sin α＝或－1.</p><p>　　∵<α<π，∴sin α＝，</p><p>　　∴α＝π，∴tan α＝－.<

21、/p><p><b>　　12.</b></p><p>　　解析?。剑?，故tan α＝2.</p><p>　　又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2，</p><p>　　∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]</p><p><b>　?。剑?</b>&

22、lt;/p><p><b>　　13.</b></p><p>　　解析　y＝sin＋coscos－sin·sin＝coscos＋sinsin＝cos，T＝＝3π，相鄰兩對(duì)稱軸的距離是周期的一半．</p><p><b>　　14.</b></p><p>　　解析　由于α∈(0，)，β∈(－

23、，0)，</p><p>　　因此α－β∈(0，π)．</p><p>　　又由于cos(α－β)＝>0，因此α－β∈(0，)．</p><p>　　sin(α－β)＝且cos β＝，</p><p>　　sin α＝sin(α－β＋β)</p><p>　?。絪in(α－β)cos β＋cos(α－β)sin

24、β</p><p><b>　?。?#215;＋×(－)＝.</b></p><p>　　15．解　∵tan α、tan β為方程6x2－5x＋1＝0的兩根，</p><p>　　∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，</p><p>　　tan(α＋β)＝＝＝1.</p><

25、p>　　∵0<α<，π<β<，</p><p>　　∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.</p><p>　　16．解　(1)f()＝2cos ＋sin2－4cos </p><p><b>　　＝－1＋－2＝－.</b></p><p>　　(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋

26、(1－cos2x)－4cos x</p><p>　?。?cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R.</p><p>　　因?yàn)閏os x∈[－1,1]，</p><p>　　所以，當(dāng)cos x＝－1時(shí)，f(x)取得最大值6；</p><p>　　當(dāng)cos x＝時(shí)，f(x)取得最小值－.</p><p&g

27、t;　　17．解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.</p><p>　　而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，</p><p>　　故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.</p><p>　　由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.</p>

28、<p>　　解之，得tan α＝－，或tan α＝.</p><p>　　∵α∈，tan α<0，故tan α＝(舍去)．</p><p><b>　　∴tan α＝－.</b></p><p>　　(2)∵α∈，∴∈.</p><p>　　由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．<

29、;/p><p>　　∴sin ＝，cos ＝－，</p><p>　　cos＝cos cos －sin sin </p><p><b>　　＝－×－×</b></p><p><b>　?。剑?</b></p><p>　　18．解　(1)f(x)＝2sin

30、2－cos 2x</p><p>　?。?－cos－cos 2x</p><p>　?。?＋sin 2x－cos 2x</p><p><b>　?。?sin＋1，</b></p><p>　　周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，</p><p>　　解得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．&

31、lt;/p><p>　　(2)x∈，所以2x－∈，</p><p><b>　　sin∈，</b></p><p>　　所以f(x)的值域?yàn)閇2,3]．</p><p>　　而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．</p><p>　　19．解　(1)由f(x)＝2sin xco

32、s x＋2cos2x－1，得</p><p>　　f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)</p><p>　　＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，</p><p>　　所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.</p><p>　　因?yàn)閒(x)＝2sin (2x＋)在區(qū)間[0，]上為增函數(shù)，在區(qū)間[，]上為減函數(shù)，

33、又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的最大值為2，最小值為－1.</p><p>　　(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．</p><p>　　因?yàn)閒(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝.</p><p>　　由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，</p><p>　　從而cos(2x0

34、＋)＝－＝－.</p><p>　　所以cos 2x0＝cos[(2x0＋)－]</p><p>　?。絚os(2x0＋)cos＋sin (2x0＋)sin＝.</p><p>　　20．解　(1)tan α＝＝，</p><p>　　所以＝.又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，</p><p><b>　　解

35、得sin α＝.</b></p><p>　　(2)因?yàn)?<α<<β<π，所以0<β－α<π.</p><p>　　因?yàn)閏os(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.</p><p>　　所以sin β＝sin[(β－α)＋α]</p><p>　?。絪in(β－α)cos α＋cos(β－α)s