基于非光滑臨界點(diǎn)理論的微分包含研究.pdf

1、本文在索伯列夫空間中利用非光滑臨界點(diǎn)理論研究了幾類具有強(qiáng)大物理背景的微分包含解的存在性與多重性，并將一部分光滑的臨界點(diǎn)理論延伸至非光滑情形.全文共分為六章，主要內(nèi)容如下:
　　第一章，介紹了所研究問(wèn)題的物理背景及意義，然后對(duì)本文的工作進(jìn)行了簡(jiǎn)要的闡述，并給出一些本文所需的記號(hào)和預(yù)備知識(shí).
　　第二章,通過(guò)建立Bartsh-Wang條件恢復(fù)無(wú)界域上索伯列夫空間W1,p(o(RN))的緊性，利用非光滑變分技巧，討論了無(wú)界域上的p

2、(x)-Kirchhoff微分包含{-M(t)(div(|▽u|p(x)-2▽u-V(x)|u|p（x)-2u）∈(6)F(x, u), x∈ RN,（P1）u∈ W1,p(x)(RN),其中t=∫RN1/p(x)(|▽u|p(x)+V(x)|u|p(x))dx，(6)F(x，u)為函數(shù)F(x，·)的Clarke廣義梯度.在對(duì)非光滑位勢(shì)函數(shù)作出適當(dāng)假設(shè)的情況下，證明了微分包含(P1)解的存在性與多重性.
　　第三章，討論了帶有次可

3、微項(xiàng)和不連續(xù)擾動(dòng)項(xiàng)的p(x)-Kirchhoff微分包含{-M(t)(div(|▽u|p(x)-2▽u)+(6)F(x, u)+ j(x, u(x),▽u(x))(∈) g(u(x)),（P2）u|(6)Ω=0,這里t=∫Ω1/p(x)|▽u|p(x)dx.假定存在上解(τ)(x)和下解(τ)(x)，利用上下解方法，不動(dòng)點(diǎn)定理，結(jié)合截?cái)嗉夹g(shù)和非線性集值分析證明了p(x)-Kirchhoff微分包含(P2)在序空間[(τ)(x)，(τ)(

4、x)]上至少存在一個(gè)非平凡解和極值解.
　　第四章，在Orlicz-Sobolev空間上研究了如下的擬線性微分包含{-div(a(|▽u|▽u))∈(6)F(x,u), x∈Ω,(P3)u|(6)Ω=0.在適當(dāng)條件下，我們獲得了兩個(gè)多重性定理.第一個(gè)定理證明了微分包含（P3）至少存在三個(gè)光滑解，其中兩個(gè)為常符號(hào)解（一正一負(fù)）.在第二個(gè)定理中利用非光滑噴泉定理，證明了問(wèn)題(P3)有一序列無(wú)界的臨界點(diǎn).此外對(duì)于局部Lipschitz函

5、數(shù)我們還證明了C1-局部極值也是Orlicz-Soboblev空間上的局部極值.
　　第五章，在非光滑分析的基礎(chǔ)上，我們將光滑的Ricceri三臨界點(diǎn)定理延伸至非光滑情形，利用拓展后的定理，在適當(dāng)條件下證明了下述p(x)-Laplacian微分包含至少存在三個(gè)非平凡解，｛-div(|▽u|p(x)-2▽u)+|u|p(x)-2u∈(∈)(6)F(x, u)-λ(6)G(x， u)+ v(6)K(x,u),(P4)u|(6)Ω=0.

6、
　　第六章，研究了如下退化的p(x)-Laplacian微分包含{-div(ω(x)|▽u|p(x)-2▽u)∈λα1(x)(6)j1(x,u)+μα2(x)(6)j2(x,u), x∈Ω,(P5)u|(6)Ω=0,其中Ω為有界域，j1，j2為非光滑局部Lipschitz函數(shù).在適當(dāng)?shù)臈l件下，我們建立了一個(gè)緊嵌入定理W1，p(x)(ω，Ω)(→)(→) Lq(x)(α(x)，Ω)，再對(duì)j1，j2作適當(dāng)假設(shè)，利用非光滑臨界點(diǎn)和相關(guān)