基于臨界點(diǎn)理論的兩類非線性問題解的存在性研究.pdf

1、基于臨界點(diǎn)理論,本文研究了兩大類非線性問題解的存在性,一類是哈密頓系統(tǒng)的周期解存在性問題,一類是橢圓形偏微分方程邊值問題解的存在性。具體來說,所得到的結(jié)果如下:
　　1.研究了超二次二階哈密頓系統(tǒng)給定周期問題。法國科學(xué)院院士Lions, Ekeland和Coti-Zelati在91年提出了一個(gè)公開問題:自然超二次條件是否充分保證哈密頓系統(tǒng)本身對(duì)于所有的T>0,哈密頓系統(tǒng)都存在T周期解。這一公開問題在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)都沒有解決,一個(gè)主要的

2、困難在于自然超二次條件下系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)泛函不再滿足(尸.義)條件,不論是利用逼近方法還是應(yīng)用傳統(tǒng)的臨界點(diǎn)的方法,最后都需要額外的條件來恢復(fù)緊性信息。在本文中我們通過變換將問題轉(zhuǎn)化依賴于參數(shù)的形式,然后應(yīng)用Struwe技巧,就可以充分地利用問題本身結(jié)構(gòu)的信息,直接得到有界的(尸.義)序列,從而避開了增加條件獲得緊性的問題。盡管這一方法并不能完全地,但卻是在很大程度上回答了Lions-Ekeland-Zelati問題:即我們證明了在該條件下,對(duì)

3、于幾乎所有的T>0,哈密頓系統(tǒng)都存在T周期解。在此基礎(chǔ)上,我們提出兩個(gè)額外的條件,使得對(duì)于所有的『>0都存在T周期解。
　　研究了給定能量面上哈密頓系統(tǒng)周期解的存在性問題。Gluck和Ziller, Benci,以及Hayashi在八十年代各自使用完全不同的方法得到了在位勢(shì)函數(shù)二階可微的條件下解存在的結(jié)果,這里位勢(shì)函數(shù)二階可微對(duì)每種證明都是關(guān)鍵的,沒有這一條件將導(dǎo)致方法直接不可用。通過運(yùn)用Struwe技巧,我們能夠在幾乎所有的能量

4、面上將這一條件減弱為一階可微。
　　通過變換和Struwe技巧來深入挖掘問題本身結(jié)構(gòu)信息以獲得緊性這種思路還可以用來處理次二次二階哈密頓系統(tǒng),以及超二次橢圓方程邊值問題。當(dāng)位勢(shì)函數(shù)滿足自然次二次條件以及強(qiáng)制條件時(shí),得到了哈密頓系統(tǒng)的周期解。在特殊的幾何區(qū)域一圓域上,在僅有自然超二次條件的情況下證明了橢圓型方程解的存在性。這兩個(gè)結(jié)果囊括了之前所有的結(jié)果。
　　2.研究了漸近線性的哈密頓系統(tǒng)非平凡周期解的存在性問題。因?yàn)樗o的余

5、項(xiàng)增長(zhǎng)條件較弱以及系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的泛函強(qiáng)不定,應(yīng)用Galerkin逼近方法,首先通過仔細(xì)估計(jì)逼近泛函在原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)增長(zhǎng)的形態(tài)來計(jì)算逼近泛函的臨界群,然后綜合運(yùn)用Maslov指標(biāo)理論和Morse理論得到逼近泛函的臨界點(diǎn),再證明這些臨界點(diǎn)構(gòu)成的逼近解序列存在收斂的子列,收斂的極限點(diǎn)即為系統(tǒng)的解。利用這一方法我們?cè)跐u近矩陣滿足多種扭轉(zhuǎn)條件時(shí)建立了存在性的結(jié)果。
　　3.研究了兩類離散二階哈密頓系統(tǒng)周期解存在的問題。首先討論了目前文獻(xiàn)尚未解

6、答的問題:離散二階哈密頓系統(tǒng)能否存在無窮多周期解。給出了位勢(shì)振蕩的條件,在這一條件和次線性的條件下,我們得到兩列無窮多解的存在性,其中一列是離散系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的泛函的局部極小點(diǎn),另外一列是該泛函的極小極大型臨界點(diǎn)。然后研究了離散二階哈密頓系統(tǒng)強(qiáng)共振的情況。得到了至少兩個(gè)非平凡解的存在性,其中一個(gè)解是系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)泛函的全局極小點(diǎn),另外一個(gè)非平凡解是通過反證法得出的。
　　4.研究了以局部Lipschitz的函數(shù)F(x,i)為位勢(shì)的p(x)