關(guān)于Bell多項(xiàng)式和GSN的若干問(wèn)題.pdf

1、人連理T大學(xué)碩士論文摘要``(JamesStirling于，73。年首先提出了Stirli、數(shù)對(duì)的概念，Thiele和Nielsen(1904)正式運(yùn)用T這一名稱。第一類Stirling數(shù)s(nk)和第二類Stirling數(shù)“(nk，是“，，多項(xiàng)式的特殊形式。)在這篇論文中，我們討論了Bell多項(xiàng)式中的遞歸關(guān)系和同余問(wèn)題，給出了廣義Stirling數(shù)對(duì)(GSN對(duì))的一類遞歸關(guān)系式，提出了擴(kuò)展的GSN對(duì)G(nklwu)和G(nkluw)的

2、概念，統(tǒng)一了二項(xiàng)式系數(shù)、高斯系數(shù)和Stirling數(shù)，并利用模型對(duì)G(nklw0)和G(nkl0w)進(jìn)行了組合解釋。最后，討論了當(dāng)，或k取負(fù)值時(shí)，G認(rèn)川wu)的一些性質(zhì)及組合解釋?？偟恼f(shuō)來(lái)，本篇論文嘗試著將GSN對(duì)進(jìn)行了更廣意義的推廣并進(jìn)行了組合意義方面的探討。關(guān)鍵詞Bell多項(xiàng)式Stirling數(shù)對(duì)GSN對(duì)GSN對(duì)，~帕，人連理工大學(xué)碩士論文前啟前言JamesStirling于1730年在MethodusDiferentialis中首

3、次提出7Stirling數(shù)的概念，而這一名稱的正式運(yùn)用則要?dú)w功于Thiele和Nielsen(1904).Stirling數(shù)對(duì)是指由(x)=Ys(nk)xkn‘0x“=藝S(nk)(x)kIn‘0(1)所定義的系數(shù)s(nk)和S(nk)，它們分別被稱為第一類Stirling數(shù)和第二類Stirling數(shù)，這一符號(hào)的最初使用者是Riordan(1958).Bell多項(xiàng)式是有無(wú)限多變?cè)猉Ix2由雙重形式幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式定義的多項(xiàng)式凡二民k(xlX

4、Z，xnk.1):，=dD(tu，一城U藝xm藝B.一uk碩乏七n!、、les.j尸瀏=1Lj1Bk(x1XZ21n!k=I二斗(2)令人注目的是如此簡(jiǎn)單的形式所定義的Stirling數(shù)和Bell多項(xiàng)式在組合學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。在Bell(1934)Carlitz(1961196219641966)Frucht(19651966)Frucht和Rota(1965)Kauchy(1965)等的文章中，對(duì)Bell多項(xiàng)式進(jìn)行了討論，得出了一些

5、有用的恒等式，并將Bell多項(xiàng)式應(yīng)用于FaadiBrun。公式，即形式級(jí)數(shù)的逐次求導(dǎo)問(wèn)題。對(duì)于Stirling數(shù)對(duì)的研究也有很大進(jìn)展，人們發(fā)現(xiàn)，Stirling數(shù)對(duì)不僅有許多好的性質(zhì)，如“三角”遞推關(guān)系，“垂直”遞推關(guān)系，“水平”遞推關(guān)系，同余性質(zhì)等，而且還可以用組合的方法對(duì)這些性質(zhì)進(jìn)行討論，這就為Stirling數(shù)對(duì)的應(yīng)用開(kāi)拓了更為廣闊的天地。第一類Stirling數(shù):(nk)和第二類Stirling數(shù)S(nk)可以用發(fā)生函數(shù)的形式定