2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、對(duì)給定的正整數(shù)k,連通圖G的一棵支撐樹(shù)T滿足△(T)≤k被稱(chēng)為圖G的一棵k-樹(shù).對(duì)給定的連通圖G,確定極小可能的正整數(shù)k使得G包含一棵k-樹(shù),即所謂度限定的支撐樹(shù)問(wèn)題.該問(wèn)題作為圖因子(即支撐子圖)問(wèn)題的一部分(即[1,k]-因子),長(zhǎng)期以來(lái)受到人們的廣泛關(guān)注.本文是在笛卡兒積圖和直積圖上研究度限定的支撐樹(shù)問(wèn)題. 在第一章中,我們首先介紹了圖因子問(wèn)題,進(jìn)而介紹了本文的研究背景和我們的主要結(jié)果.圖因子問(wèn)題是圖論中一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題,其歷

2、史可追溯到1891年P(guān)etersen[16]有關(guān)圖可二因子化的重要論文,其后又有Hall,Konig,Tutte,Lovász等人做出了大量廣泛而深刻的結(jié)果.圖因子問(wèn)題也是離散數(shù)學(xué)中非?;钴S,廣受關(guān)注的研究方向之一.早在上世紀(jì)70年代,Gavey和Johnson[8]就已經(jīng)證明確定圖中k-樹(shù)存在性的問(wèn)題是NP-hard的.因此,給出圖含k-樹(shù)的充分條件是很有意義的.事實(shí)上,Chvátal和Erdos在1972年[6]證明了每個(gè)滿足條件|

3、G|≥3且K(G)≥α(G)的圖G都有Hamilton圈.因此,圖G就有一條Hamilton路T作為其支撐樹(shù).此時(shí),△(T)≤[α(G)/k(G)]+1=2.這使得人們猜測(cè)K=[α(G)/k(G)]+1可能就是一般連通圖的K-樹(shù)中K的最小上界.Jackson和Wormald,Neumann-Lava和Rivera-Campo分別在1990年[11]和1991年[15]用不同的方法證明了上述猜想,他們證明每個(gè)連通圖G都有一棵([α(G)/

4、k(G)]+1)-樹(shù).他們還舉例說(shuō)明這個(gè)上界對(duì)一般的連通圖而言是緊的.本文中,我們?cè)诘芽▋悍e圖和直積圖上進(jìn)一步研究度限定的支撐樹(shù)問(wèn)題,并改進(jìn)了他們的上界. 第二章我們研究笛卡兒積圖上度限定的支撐樹(shù)問(wèn)題.設(shè)G<,1>和G<,2>是兩個(gè)圖,我們記G<,1>和G<,2>的笛卡兒積為G<,1>□G<,2>,其中V(G<,1>□G<,2>):=V(G<,1>)×V(G<,2>),并且(u,v)與(u’,v')在G<,1>□G<,2>中相鄰

5、當(dāng)且僅當(dāng)u=u’且v與v’在G<,2>中相鄰,或者v=v’且u與u’在G<,1>中相鄰.設(shè)T是一棵樹(shù)且u ∈V(T).對(duì)一個(gè)給定的正整數(shù)k≥△(T),我們定義函數(shù)f<,T>(u,k):=k-d<,T>(v)為 v在T上對(duì)k的虧,F(xiàn)<,T>(k):=∑<,v∈V(T)>f<,T>(u,K)為樹(shù)T對(duì)K的虧.設(shè)G<,i>是連通圖,T<,i>是G<,i>的一棵k<,i->樹(shù)(i=1,2),其中|G<,2>|≥3并且k<,2>≥k<,1>.我們證

6、明,如果F<,T<,1>>≥K<,2>,則G<,1>□G<,2>有棵K<,1>-樹(shù);否則G<,1>□G<,2>有棵K<,2>-樹(shù).進(jìn)一步的,我們證明,如果|T<,1>|≥K<,2>-K<,1>+1那么G<,1>□G<,2>就有一棵K<,1>-樹(shù).設(shè)G是一個(gè)連通圖且|G|≥3,又設(shè)r是一個(gè)實(shí)數(shù)滿足r.k(G)≥δ(G)且α(G)≥2r.我們證明G□G有一棵([α(G)/k(G)]+1)-樹(shù),并且α(G□G)/k(G□G)>α(G)/k(G

7、).另外,我們還通過(guò)一些例子說(shuō)明我們的上界優(yōu)于已有的上界. 第三章我們研究直積圖上度限定的支撐樹(shù)問(wèn)題.我們記G<,1>和G<,2>的直積為G<,1>×G<,2>,其中V(c<,1>×G<,2>):=V(G<,1>)×V(G<,2>),并且(u,v)與(u’,v’)在G<,1>×G<,2>中相鄰當(dāng)且僅當(dāng)u與u'在G<,1>中相鄰,同時(shí)v與v’在G<,2>中相鄰.設(shè)G<,1>是一個(gè)包含奇圈的連通圖,G<,2>包含Hamilton路

8、且有偶數(shù)個(gè)頂點(diǎn).我們證明,如果G<,1>有棵k-樹(shù),則G<,1>×G<,2>就有一棵(k+1)一樹(shù).更進(jìn)一步,如果G<,1>有棵k-樹(shù)T使得T+uu'包含一個(gè)奇圈(uu’∈E(G<,1>)\E(T)),其中u,u’∈V(T)滿足d<,T><Δ(T)且d<,T>(u’)<△(T),那么G<,1>×G<,2>就包含一棵k-樹(shù).我們還證明,如果G是一個(gè)非Hamilton圖,滿足G包含奇圈且δ(G)≥1,并且有某個(gè)正整數(shù)n使得n.k(G)≥δ(

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