若干高維可積和不可積系統(tǒng)的嚴格解.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們越來越認識到自然界中的一些非線性現(xiàn)象的重要性。相對于線性現(xiàn)象，非線性現(xiàn)象的性質(zhì)更為復(fù)雜和難以捉摸，人們對此一度畏之如虎。直到最近幾十年來，構(gòu)成非線性科學(xué)的三大分支，孤立子、混沌和分形理論得到了迅速發(fā)展，才使人們對非線性科學(xué)有了更為清楚的認識，并且已經(jīng)設(shè)立了專門的科技期刊來介紹它們的最新研究進展。作為非線性科學(xué)中一個非常重要的組成部分，孤立子理論在上世紀六十年代真正形成并成為一個非?；钴S和富有吸引力的研究領(lǐng)域。

2、盡管孤立子理論尚處于年輕時期，但是它在數(shù)學(xué)、生物、大氣海洋學(xué)及物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。越來越多的數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家從事孤立子理論的研究，已經(jīng)取得了許多非常重要和有意義的研究成果。作為一門還很年輕的學(xué)科，孤立子理論有著良好的發(fā)展前景。 由于孤立子理論的研究對象主要是低維或者高維的非線性偏微分方程，所以如何求解這些非線性偏微分方程就成為一個相當困難的問題。因為對線性系統(tǒng)有效的求解方法一般不適用于非線性偏微分系統(tǒng)，因此人

3、們不得不尋求其它獨特的方法來求解非線性偏微分方程。這些方法包括反散射方法、對稱約化方法、Backlund變換、Hirota雙線性法、非線性化方法、Painlevé截斷展開法、齊次平衡法以及達布變換法等。然而，這些方法都只是對某些或者某類非線性偏微分方程適用，并不具有普遍性。正是由于非線性系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，使得發(fā)現(xiàn)或者提出一個對所有非線性偏微分系統(tǒng)都適用的方法是不現(xiàn)實的，也是不可能的。我們知道分離變量法是研究線性系統(tǒng)的強有力的工具之一。近

4、十多年來，幾種不同形式的分離變量法在各自的適用領(lǐng)域都得到了迅速發(fā)展。比如，由曹策問教授提出的對非線性系統(tǒng)的Lax對進行非線性化，或者稱之為對稱約束法(程藝、李翊神、曾云波等)以及形式分離變量法(樓森岳、陳黎麗等)；另外一種方法是基于一般條件對稱的泛函分離變量法(RZZhdanov、屈長征、張順利等)以及最近得到蓬勃發(fā)展的由樓森岳、陸繼宗、唐曉艷等建立的多線性分離變量法。利用多線性分離變量Ⅰ法可以得到許多2+1維非線性系統(tǒng)的包含兩個變量分

5、離函數(shù)的嚴格解的一個普適公式。從這個普適公式出發(fā)，可以得到非常豐富的局域激發(fā)模式。 達布變換法是另外一個構(gòu)造孤子方程解的有力工具，國內(nèi)外的許多學(xué)者在從事達布變換法的研究并且取得了一系列有意義的研究成果。一般來說，達布變換有兩種不同的形式，有著不同的適用范圍。一種是初等達布變換，對Lax對包含譜參數(shù)的非線性系統(tǒng)適用。另外一種稱為二元達布變換，一般適用于Lax對不含譜參數(shù)的非線性偏微分方程。在本文中，我們所研究的非線性系統(tǒng)都不顯含譜

6、參數(shù)，因此必須引進二元達布變換來研究系統(tǒng)的具體性質(zhì)。而構(gòu)造二元達布變換的一個關(guān)鍵點就是如何確定閉的1-形式。這個閉的1-形式之所以難以建立在于我們找不到一般的構(gòu)造方法來尋求一個普適的形式對所有的非線性系統(tǒng)都有效，成功與否在很大程度上依賴于作者的技巧性和經(jīng)驗性。 近十多年來，樓森岳教授和他的研究小組在對一大類非線性系統(tǒng)的分離變量法方面作了大量的研究工作，取得了豐富的研究成果。他們研究了很多高維可積非線性模型以及不可積模型，給出了用

7、一個簡潔的普適公式來表示嚴格解的統(tǒng)一表達式。這些模型包括色散長波方程，非對稱的Nizhnik-Novikov-Veselov系統(tǒng)，sine-Gordon模型，DS方程以及不可積KdV模型等。既然多線性分離變量法可以得到包含兩個變量分離函數(shù)的嚴格解，并且得到了非常豐富的局域激發(fā)模式，那么，一個自然的問題就是，如果我們是否可以采用其它傳統(tǒng)的求解方法來得到類似于多線性分離變量法的結(jié)果呢?本學(xué)位論文的前半部分內(nèi)容很好地回答了這個問題。

8、本學(xué)位論文主要解決了下述幾個由多線性分離變量解引出的更為深入的幾個重要問題： 1.一般說來，多線性分離變量解的求得一般要借助于一個先驗假設(shè)。由此我們解決的第一個問題是如何用孤子理論中傳統(tǒng)的求解方法來系統(tǒng)地得到多線性分離變量解而不需要先驗的假設(shè)? 2.多線性分離變量解通常只包含兩個變量分離函數(shù)而線性分離變量法容許任意多個變量分離解的線性疊加。因此，如何將多線性分離變量解推廣至可以包含任意多個的變量分離函數(shù)成為一個非常重要和

9、有意義的問題。 -Ⅱ-3.多線性分離變量解的豐富性來自于任意函數(shù)的進入，但這種方法通常僅適用于可積模型。而實際物理模型大多是不可積模型。一個自然的問題就是我們?nèi)绾螌ふ也豢煞e系統(tǒng)的包含任意函數(shù)的分離變量解呢? 由于達布變換方法僅適用于可積模型，并且傳統(tǒng)的達布變換無法得到包含任意函數(shù)的嚴格解。而多線性分離變量法得到的嚴格解的任意性和豐富性來自于任意函數(shù)的進入，因此如何在不可積系統(tǒng)的嚴格解的表達式中找到類似的豐富性和任意性是一

10、件非常困難的事。幸運的是，在本論文中，我們成功地將形變映射理論進行推廣得到了不可積模型的包含任意函數(shù)的嚴格解。一個φ4模型和sine-Gordon或雙sine-Gordon模型間的形變映射關(guān)系在文獻[J.Math.Phys.30(1989)1614]中是已知的。在此基礎(chǔ)上，我們進一步發(fā)展了形變映射方法，建立了兩個或多個φ4場和sine-Gordon或雙sine-Gordon場之間的形變映射關(guān)系。從這些形變映射關(guān)系出發(fā)，我們構(gòu)造了高維si

11、ne-Gordon和雙sine-Gordon模型的用Jacobi橢圓函數(shù)表示的嚴格解。得到了不可積sine-Gordon或者雙sine-Gordon模型的一些近似周期波解、周期波-solitoff解、周期波-kink解、周期波-周期波解、周期波-擬周期波解等等。我們對所謂的擬周期解從幾個特殊的方向上和平面上分析其特有的性質(zhì)，給出了具體詳盡的理論分析和闡述。 本學(xué)位論文的創(chuàng)新點：(1).發(fā)展和結(jié)合達布變換方法和多線性分離變量法來構(gòu)

12、造一些2+1維非線性可積系統(tǒng)的包含任意個變量分離函數(shù)的嚴格解。傳統(tǒng)意義的達布變換無法得到包含任意函數(shù)的嚴格解，而多線性分離變量法只能得到兩個變量分離函數(shù)的嚴格解。我們結(jié)合這兩種方法求得了非線性系統(tǒng)的包含任意多個變量分離函數(shù)的嚴格解。 (2).研究了一些2+1維非線性可積系統(tǒng)新的孤子解的新相互作用過程及其性質(zhì)。 (3).從兩個方面推廣了形變映射理論：(a).建立了多個φ4場和sine-Gordon以及雙sine-Gordo