關(guān)于多重耦合非線性拋物型方程組的幾個問題.pdf

1、本文主要研究了一類多重耦合的非線性拋物型方程組解的奇性的產(chǎn)生和發(fā)展問題，特別糾正了在討論同時blow-up速率中容易發(fā)生的一個常見錯誤，并且給出了保證同時與不同時blow-up發(fā)生的條件.在這里通過引入相應(yīng)的含有兩個參數(shù)的特征代數(shù)方程組，得到關(guān)于不同情形下同時blow-up速率的清晰刻畫.另外，還討論了一類具對流項的非線性擴散方程組解的整體存在性與不存在性，特別是在臨界情形下，給出了區(qū)域的大小對解的整體存在性和不存在性的量化估計.對這兩

2、個模型及結(jié)果簡述如下： 問題Ⅰ內(nèi)部源及邊界流多重耦合的非線性拋物型方程組 {ut=uxx+ul11vl12,ut=vxx+ul21vl22,(x,t)∈(0,1)×(0,T),{ux(1,t)=(up11vp12)(l,t),vx(1,t)=(up21vp22)(1,t),t∈(0,T),{ux(0,t)=0,vx(0,t)=0,t∈(0,T),{u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈(0,1),其中指

3、標(biāo)lij,pij≥0(i，j=1，2).僅考慮完全耦合的形式，假設(shè)下列條件至少之一成立：l12l21＞0，l12p21＞0，p12l21＞0和p12p21＞0.為了刻畫各種非線性機制之間復(fù)雜的相互作用，這里所包含的非線性指標(biāo)參數(shù)多到八個，使得該模型包括了非常豐富的內(nèi)容，需要討論的問題多且復(fù)雜，例如，解的blow-up臨界指標(biāo)，同時與不同時blow-up的條件，不同條件下的各種blow-up速率等等.這就需要有對非線性指標(biāo)參數(shù)細(xì)致的分類.

4、借助于對問題Ⅰ所引入的含有兩個參數(shù)的特征代數(shù)方程組，得到所需要的指標(biāo)分類，完成了對以下問題的討論： (a)只發(fā)生同時blow-up的充要條件； (b)只發(fā)生不同時blow-up的條件； (c)同時與不同時blow-up共存的指標(biāo)區(qū)域； (d)邊界流占優(yōu)耦合時的blow-up速率； (e)內(nèi)部源占優(yōu)耦合時的blow-up速率； (f)一個內(nèi)部源和一個邊界流占優(yōu)耦合時的blow-up速率；

5、 (g)blow-up集. 問題Ⅱ具對流項的非線性擴散方程組 {ut=α1△um1-b1um1-2|()u|2+up1vq1,{ut=α2△vm2-b2vm2-2|()v|2+up2vq2,{u(x,t)=ε0,v(x,t)=ε0,{u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),其中Ω()RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域；常數(shù)p2，q1＞0，p1，q2≥0，ε0＞0，mi≥1，ai＞0，bi≥0(i=1，2).由于

6、系數(shù)和指標(biāo)參數(shù)的任意性，問題Ⅱ可以包含許多非線性擴散模型，例如，ut=uh1(△un1+uk1vl1)，vt=vh2(△vn2+uk2vl2)，其邊界條件為u=v=ε0和ut=△en1u+ek1u+l1v，vt=△en2v+ek2u+l2v，其邊界條件為u=v=0.我們詳細(xì)地討論了問題Ⅱ解的整體存在性與不存在性.文獻[66]討論了問題Ⅱ當(dāng)a1=a2=1，b1=b2=0時的特殊情形，問題Ⅱ的結(jié)果包含了[66]中的全部結(jié)果，并有以下進一步的