多重非線性拋物方程組同時與不同時Blow-up問題.pdf

1、本文主要研究一類經(jīng)由非線性內(nèi)部源和邊界流多重耦合的拋物型方程組(問題(Ⅰ)，問題(Ⅱ))，詳細討論了其非整體解的同時與不同時blow-up的條件、同時blow-up速率和blow-up集等問題.由于非線性的多重性，對所考慮的模型分別得到多達四種(對應(yīng)問題(Ⅰ))或九種(對應(yīng)問題(Ⅱ))不同的同時blow-up速率，問題相當復(fù)雜.這里通過引入相應(yīng)的特征代數(shù)方程組，給出了blow-up臨界指標和同時blow-up速率的簡捷刻畫，得到完整的結(jié)

2、果.特別地，在同時與不同時blow-up的討論中首次發(fā)現(xiàn)在同一指標條件下，不同的初值可以導(dǎo)致不同的同時blow-up速率的有趣現(xiàn)象.此外，還討論了具有指數(shù)型內(nèi)部吸收項和耦合邊界流的非線性拋物型方程組(問題(Ⅲ)).通過所引入的特征代數(shù)方程組的解的倒數(shù)的符號，清晰刻畫出區(qū)分整體解與非整體解的臨界指標.對問題(Ⅲ)的相應(yīng)單個方程情形，還進一步得到了非整體解的blow-upprofile. 問題(Ⅰ){ut=△u+σ1(um+vp),

3、vt=△v+σ2(uq+vn),(x,t)∈Ω×(0,T),()u/()η=(1-σ1)(um+vp),()v/()η=(1-σ2)(qu+vn),(x,t)∈()Ω×(0,T),u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω.其中參數(shù)σ1，σ2∈{0，1}，區(qū)域Ω(∪)RN，且邊界光滑，u0，v0是滿足相容性條件的正光滑函數(shù).對應(yīng)于σ1，σ2∈{0，1}，問題(Ⅰ)包含三種典型情形：當σ1=σ2=1時，問題(Ⅰ)變?yōu)閧ut

4、=△u+um+vp,vt=△v+uq+vn,(x,t)∈Ω×(0,T),()u/()η=0,()v/()η=0,(x,t)∈()Ω×(0,T),u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω.Souplet和Tayachi[74]，Rossi和Souplet[69]分別研究了相應(yīng)于該情形的Cauchy問題以及齊次Dirichlet問題，討論了同時與不同時blow-up的條件，以及同時與不同時blow-up共存的指標區(qū)域，并得

5、到兩種同時blow-up速率. 本文主要討論問題(Ⅰ)的其它兩種典型情形，采用與[74，69]不同的方法，得到了更多有趣的結(jié)果. 當σ1=σ2=0時，問題(Ⅰ)成為邊界流耦合問題{ut=△u,vt=△v,(x,t)∈Ω×(0,T),()u/()η=um+vp,()u/()η=uq+vn,(x,t)∈()Ω×()0,T),u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω.當σ1=1，σ2=0(σ1=0，σ2=1為

6、其平行情況)時，問題(Ⅰ)則成為內(nèi)部源與邊界流交叉耦合問題{ut=△u+um+vp,vt=△v,(x,t)∈Ω×(0,T),()u/()η=0,()v/()η=uq+vn,(x,t)∈()Ω×(0,T),u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω.對于上面兩個情形，分別討論了其同時與不同時blow-up的相關(guān)問題，包括：只發(fā)生同時blow-up的充要條件；只發(fā)生不同時blow-up的充分條件；同時與不同時blow-up共

7、存的指標區(qū)域；四種同時blow-up速率以及blow-up集估計.有趣的是，這里發(fā)現(xiàn)了一種新的現(xiàn)象：在同樣的指標條件下，不同的初值選取可能導(dǎo)致不同的同時blow-up速率. 在此基礎(chǔ)上，繼而討論如下包含更多非線性參數(shù)的多重耦合方程組(問題(Ⅱ))，并得到與問題(Ⅰ)類似的結(jié)果.由于問題的復(fù)雜性，限于考慮N=1情形. 問題(Ⅱ){ut=uxx+vp+um,vt=vxx+uq+vn,(x,t)∈(0,1)×(0,T),ux(

8、1,t)=vl(1,t),vx(1,t)=uk(1,t),t∈(0,T),ux(0,t)=0,vx(0,t)=0,t∈(0,T),u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈(0,1).最后，考慮了具有指數(shù)型非線性吸收和邊界流的拋物型方程組問題.問題(Ⅲ) ut=△u-a1eα1u，vt=△v-a2eβ1v，(x，t)∈Ω×(0，T)，()u/()η=eα2u+pv,()v/()η=equ+β2v，(x，t)∈()Ω