兩類變系數(shù)非線性偏微分方程的可積性質(zhì)研究.pdf

1、在物理和工程中的很多數(shù)學(xué)模型通常最終都?xì)w結(jié)到非線性偏微分方程，因此這些方程所具有的各種性質(zhì)，如顯式精確解、守恒律、Hamilton結(jié)構(gòu)等對(duì)于一些物理現(xiàn)象的解釋就顯得十分重要。然而，非線性偏微分方程的數(shù)量十分巨大，并且隨著現(xiàn)代科技的飛速發(fā)展，大量新的偏微分方程正從各個(gè)學(xué)科中涌現(xiàn)。因此對(duì)于這些方程的性質(zhì)的研究也就越來(lái)越重要。孤子解是非線性偏微分方程的一類特殊解。如果非線性偏微分方程代表某種物理過(guò)程，那么其相應(yīng)的孤子解也具有確定的物理意義。目

2、前，孤子作為非線性科學(xué)的一個(gè)重要分支正被廣泛地研究。 本論文以非線性偏微分方程的理論為基礎(chǔ)，利用計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算對(duì)兩類非線性偏微分方程，即變系數(shù)Boussinesq方程和變系數(shù)五階Korteweg-de Vries(KdV)方程的可積性質(zhì)進(jìn)行了研究。主要內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面： (1)Painlevé檢測(cè)。1983年，Weiss，Tabor和Carnevale通過(guò)推廣常微分方程的Painlevé檢測(cè)方法，提出了偏微分方程的P

3、ainlevé檢測(cè)算法。該方法不僅提供了一個(gè)判定某個(gè)非線性發(fā)展方程是否完全可積的必要條件，而且利用該方法可以研究非線性發(fā)展方程的可積性質(zhì)，如Baicklund變換、Lax對(duì)等，并使之能夠有效地用于許多非線性系統(tǒng)可積性質(zhì)的研究。同時(shí)，作為“副產(chǎn)品”，可以利用Painlevé截?cái)嗾归_法構(gòu)造方程的自Baicklund變換。本文第二章便針對(duì)變系數(shù)Boussinesq方程進(jìn)行Painlevé檢測(cè)，證明了該方程在一定的約束條件下是Painlevé可

4、積的，即方程具有Painlevé性質(zhì)。最后，利用Painlevé截?cái)嗾归_法構(gòu)造了該方程的自Baicklund變換。 (2)在實(shí)際的科學(xué)與工程中，變系數(shù)非線性偏微分方程相對(duì)于常系數(shù)方程來(lái)說(shuō)，更能有效地描述實(shí)際物理過(guò)程，因此，對(duì)于變系數(shù)模型的研究也就愈發(fā)顯得重要。在第三章，本文介紹一種比較有效的研究變系數(shù)非線性偏微分方程的方法。該方法是通過(guò)建立一種坐標(biāo)變換關(guān)系，使得在新的坐標(biāo)系下，將要研究的變系數(shù)非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程

5、。利用所建立的變換關(guān)系，將標(biāo)準(zhǔn)方程的各種性質(zhì)映射到變系數(shù)方程，從而達(dá)到研究變系數(shù)非線性發(fā)展方程性質(zhì)的目的。利用該方法，本文第三章就通過(guò)分別建立變系數(shù)Boussinesq方程和變系數(shù)五階KdV方程的坐標(biāo)變換，將它們分別變換到相應(yīng)的常系數(shù)方程來(lái)研究，同時(shí)得到了這兩個(gè)方程具有可積性質(zhì)的約束條件。利用已知的常系數(shù)Boussinesq方程的一系列性質(zhì)，通過(guò)變換關(guān)系映射得到變系數(shù)Boussinesq方程的Backlund變換、非線性疊加公式、Lax

6、對(duì)等可積性質(zhì)。 (3)Darboux變換方法是構(gòu)造非線性方程顯式解的一種極其有效的方法。從一個(gè)平凡解出發(fā)(通常取零解)，通過(guò)一次或者連續(xù)多次Darboux變換就可以得到方程的單孤子解或者多孤子解。構(gòu)造這種變換的關(guān)鍵就在于確定出一種能夠保持方程的Lax對(duì)形式不變的規(guī)范變換。在本文第四章，基于第三章的理論基礎(chǔ)以及所得結(jié)論，構(gòu)造出了變系數(shù)Boussinesq方程的Darboux變換以及變系數(shù)五階KdV方程的Lax對(duì)和Darboux變換