兩類橢圓偏微分方程的無窮多解.pdf

1、福建師范大學(xué)黃秀燕碩士學(xué)位論文摘要這篇碩士論文主要運(yùn)用了變分的基本方法，如下降流不變集方法，極小極大方法，對稱性山路引理等研究了兩類橢圓偏微分方程的無窮多解．在緒論中我們回顧了本文所討論問題的背景和已有結(jié)果．在第1 章中，介紹I 臨界點(diǎn)理論中的一些基本知識，基本引理以及一些記號說明．在第2 章中，考慮一類帶凹凸非線性項(xiàng)的半線性橢圓邊界值問題{ 一△讓= 入墨z ，u ) + ，( z ，亂) ' z ∈Q ， ( 2 ．1 ．1

2、 )l 釷= ，o ∈, 9 0 0 0 9 ／．、 7的變號解．其中A ≥0 是一個(gè)實(shí)參數(shù)，Q 是R Ⅳ( Ⅳ≥3 ) 中帶光滑邊界a Q 的有界區(qū)域，通過建立適當(dāng)?shù)牧鞑蛔兗沟盟械恼夂拓?fù)解都包含在這些流不變集中，然后在這些流不變集外運(yùn)用極小極大方法得到方程( 2 ．1 ．1 ) 的無窮多個(gè)變號解．在第3 章中，運(yùn)用對稱性山路引理得到半線性S c h r S d i n g e r 方程{ ，- - ，A f u + H Iy (

3、 z ) 讓亍，( 。，u ) ，( 3 ．1 ．1 ) ( R N )I 亂∈ ． r ?叫的無窮多解，其中勢函數(shù)y ( z ) 是變號的．第4 章總結(jié)了本篇碩士論文的主要結(jié)論．關(guān)鍵詞：不變集，極小極大方法，變號解，S c h r 6 d i n g e r 方程，變號勢，對稱性山路引理，無窮多解．嘹} -Il I l l l f l f l l E f r l l I F I I lI I r [ 1 l I I l itI l l

4、 l＼1 8 0 7 0 6 6福建師范大學(xué)黃秀燕碩士學(xué)位論文A b s t r a c tI nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h e e x i s t e n c eo f i n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n s f o rt w o e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u

5、 a t i o n s b ya p p l y i n gv a r i a t i o n a lm e t h o d s i n c l u d i n gd e s c e n d i n gf l o wi n v a r i a n ts e t s ，m i n i m a xm e t h o d a n ds y m m e t r i c m o u n t a i n p a s st h e o r e m

6、．I nt h ei n t r o d u c t i o n ，w er e v i e ws o m e b a c k g r o u n da n dk n o w n r e s u l t sa b o u t t h ep r o b l e m s ．I nc h a p t e r o n e ，w e i n t r o d u c e s o m eb a s i ck n o w l e d g e a n d

7、l e m m a s o fc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dg i v es o m e n o t a t i o n s ．I nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c @ o fn o d a ls o l u t i o n f o r a ns e m i l i n e a re l l i p t

8、 i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mI - A u = A g ( x ，u ) + ，( z ，u ) ，貿(mào)∈Q ，l u = 0 ，髫∈a Q ．( 2 ．1 ．1 )w h e r e 入> 0 i sa p a r a m e t e r ，Qi sab o u n d e dd o m a i n i n 酞Ⅳw i t hs m o o t h b o u n d a r

9、 y a Q ．T h e n o n l i n e a r i t y i n v o l v e sa c o m b i n a t i o no fc o n c a v e a n dc o n v e x t e r m s ．W e c o n s t r u c tc e r t a i ni n v a r i a n ts e t so ft h eg r a d i e n tf l o wS Ot h a ta

10、 l lp o s i t i v ea n d n e g a t i v es o l u t i o n sa r e c o n t a i n e di nt h e s ei n v a r i a n ts e t sa n d t h a t m i n i m a x p r o c e d u r ec a n b eu s e dt oc o n s t r u c t n o d a lc r i t i c a

11、 lp o i n to ft h ee n e r g yf u n c t i o n a l o u t s i d eo ft h e s e i n v a r i a n t s e t s ．I nc h a p t e rt h r e e ，w eu s et h es y m m e t r i cm o u n t a i np a s st h e o r e mt oo b t a i nt h ee x i

12、s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n sf o rt h es e m i l i n e a rS c h r S d i n g e re q u a t i o nf —A u + V ( x ) u = ，( 留，讓) ，1 銘∈H 1 ( R Ⅳ) ．T h e p o t e n t i a ly ( x ) i ss i g n - c h a n

13、 g i n g ．I nc h a p t e rf o u r ，w es u m m a r i z e t h e m a i n r e s u l t so ft h i st h e s i s( 3 ．1 ．1 )K e y w o r d s ：I n v a r i a n ts e t s ，M i n i m a xm e t h o d ，N o d a ls o l u t i o n s ，S c h r