關于兩類非線性橢圓型偏微分方程解的研究.pdf

1、本文主要研究兩類非線性橢圓偏微分方程的解.第一類是奇異橢圓方程.這類方程來自于對薄膜平衡狀態(tài)模型的刻畫.我們得到了有初值條件時這類奇異橢圓方程經(jīng)典徑向解的存在唯一性結果,與奇異(奇性發(fā)生在原點)徑向解的存在性結果.還研究了這些徑向解的振蕩性及其在無限遠處的極限情形.其中奇異徑向解的研究對于涂料工業(yè)具有重要的意義.第二類是在二維空間中的有界區(qū)域內帶有Neumann邊界條件的.Allen-Cahn方程.我們研究了其內部層解.
　　

2、第一章,簡單介紹了所研究問題的背景及本文的主要結果.也交代了文中需要用到的一些概念與基本定理,還包含有全文的結構安排.
　　 第二章,我們研究奇異橢圓方程
　　 △u(x)=1/αu-α(x)-p(r)x∈RN(N≥3),的經(jīng)典徑向解,其中r=｜x｜.由于該方程的非線性項含有負指數(shù)冪,我們需要謹慎討論該問題的“解”.我們先給出該方程解的定義.若一非負連續(xù)函數(shù)u≠0且在開集{x∈RN,u(x)>0}中滿足方程,則我們稱u為

3、該方程的解.我們在本章得到了:對任意的η>0,該問題存在唯一的經(jīng)典徑向解u(r)滿足u(0)=η,且解u(r)有振蕩性質與極限結果.在考慮極限情形時,我們根據(jù)解u(r)的三種可能情形進行討論,并得到了解在三種情形中都有相同的極限結果.
　　 第三章,我們首先得到奇異解在原點處的增長率結果.然后通過壓縮映照原理證明了前面奇異橢圓問題奇異徑向解的存在性.奇異徑向解的振蕩性質與極限結果可用類似第二章的方法得到.
　　 第四章,

4、我們研究如下帶有Neumann邊界條件的非齊次Allen-Cahn方程的內部層解
　　 ε2△u+V(y)u(1-u2)=0y∈Ω,
　　 ()u/()n=0y∈()Ω,其中Ω為R2中的有界光滑區(qū)域.我們用無限維Liapunov-Schmidt約化方法,得到了該問題有兩個具有相反方向的內部層解的結論.我們的重點是需要得到其中一個層解,另外一個則可對稱的得到.本章中我們需要多次構造問題的近似解以逐步提高其精度,及反復用到不