非線性偏微分方程的解法研究.pdf

1、非線性動力學(xué)是非線性科學(xué)的一個重要分支，而非線性偏微分方程的精確求解及其解法研究又是非線性動力學(xué)的一個主要內(nèi)容。非線性偏微分方程的精確求解及其解法研究作為非線性科學(xué)中的前沿研究課題和熱點(diǎn)問題，極具挑戰(zhàn)性。目前雖然已經(jīng)提出和發(fā)展了許多求非線性偏微分方程精確解的方法，但由于求解非線性偏微分方程沒有也不可能有統(tǒng)一而普適的方法，因此繼續(xù)尋找一些有效可行的方法依然是一項(xiàng)十分重要和極有價值的工作。本文在全面歸納和總結(jié)現(xiàn)有各種求解非線性偏微分方程的主

2、要方法的基礎(chǔ)上，對非線性偏微分方程的解法進(jìn)行了較為系統(tǒng)和深入的研究，提出了幾種求非線性偏微分方程精確解的新方法，并用這些新方法求解了許多物理和力學(xué)中非常重要的非線性偏微分方程，不但獲得了已有的結(jié)果，而且得到了許多新的結(jié)果，豐富和發(fā)展了非線性偏微分方程解法研究的內(nèi)容。本文的工作具有較大的理論意義和應(yīng)用價值。 全文共分六章。第一章為緒論，簡要地回顧了非線性偏微分方程提出的歷史背景，全面歸納和總結(jié)了國內(nèi)外所提出的求非線性偏微分方程精確

3、解的一些主要方法，扼要地介紹了本文研究的目的和主要內(nèi)容。第二章用力學(xué)的方法簡單地導(dǎo)出了幾個重要的非線性偏微分方程。第三章提出了一種求非線性偏微分方程(組)精確解的變換—試探函數(shù)法，并用該方法簡潔地求得了許多非線性偏微分方程的大量精確解，包括許多新解。第四章提出了一種求Burgers方程、KdV方程和KdV-Burgers方程精確解的直接方法，用這種方法，不但能求得用第三章中的變換一試探函數(shù)法求得的所有解，還能求得用第三章中的變換—試探函

4、數(shù)法不能求得的許多新解。第五章提出了一種由Burgers方程的解和KdV方程的解構(gòu)造KdV-Burgers方程的解以及由KdV方程的解和Kuramoto-Sivashinsky方程的解構(gòu)造KdV-Burgers-Kuramoto方程的解的疊加法，并用該方法簡潔地求得了KdV-Burgers方程和KdV-Burgers-Kuramoto方程的若干精確解，所得結(jié)果與第三章中用變換—試探函數(shù)法求得的結(jié)果完全相同。第六章提出了一種求某些超越非線