帶邊流形上的k-Yamabe問題.pdf

1、k-Yamabe問題是微分幾何中的一個很有趣的問題.它是要找一個共形的度量g，使得它的Schouten張量的κ-曲率是常數(shù)．其中κ-曲率是指二階對稱張量特征值的κ次對稱多項式.特別的，當k=1時k-Yamabe問題就還原成了經典的Yamabe問題．我們有時也希望共形后Schouten張量的κ-曲率能等于預定的函數(shù)f.這種問題稱為預定曲率問題．
　　 對于閉流形而言，在(M，g)是κ-相容(k-admissible)的前提下，[A

2、u]，[S1]，[Tr1]，[Tr3](k=1)以及[V1],[CGY2]，[GeW]，[GW2],[BV]，[LL1]，[GV2],[STW],[TW1],[TW2](k≥2)已經給出了κ-Yamabe以及預定曲率問題的一系列的存在性結果．而對于具有全臍邊界的流形，我們已經知道：若(M，g)局部共形平坦并且是κ-相容的，那么k-Yamabe問題是可解的([Cn2])．隨后，[JLL]在k＞n/2以及流形不共形于半球面的情況下弱化了局部

3、共形平坦的條件.只要流形在邊界附近是局部共形平坦的，便可以得到更為一般的預定曲率問題都有解．在這些工作的基礎上，我們研究了具有全測地邊界的流形的k-Yamabe問題，對于該問題解的存在性，我們去掉了上述論文中要求的邊界附近局部共形平坦的這個條件.
　　 除了k-相容的情況外，當k-Yamabe常數(shù)(yκ[g])為正時也有一系列存在性結果.比如，文獻[CGY1]，[GV1]，[GLW]和[S]就對閉流形上的這類問題進行了討論.對于