子流形上幾何、分析與拓撲的若干問題研究.pdf

1、本文主要研究子流形上幾何、分析與拓撲的若干問題，獲得了局部共形平坦黎曼流形的整體剛性定理，球面中Clifford超曲面的幾何特征，四維雙曲空間中某些超曲面的分類，黎曼子流形的拓撲球面定理和微分球面定理以及在曲率積分拼擠條件下平均曲率流解的收斂性定理和關(guān)于時間的可延拓性定理等結(jié)果．
　　 本文第二章研究了局部共形平坦黎曼流形的幾何剛性．M．Tani[T]證明了具有正Ricci曲率和常數(shù)量曲率的緊致可定向局部共形平坦流形的萬有覆蓋空

2、間等距于球面．成慶明，S．Ishikawa和K．Shiohama[CIS]給出了數(shù)量曲率和Ricci曲率模長都是正常數(shù)的3維完備的局部共形平坦流形的分類．最近，S．Pigola，M．Rigoli和A．G．Setti[PRS]在逐點的Ricci曲率拼擠條件下得到了空間形式的幾何特征，并證明了當數(shù)量曲率為零時局部共形平坦黎曼流形的Ln/2拼擠定理．在第二章中，我們證明了當數(shù)量曲率為常數(shù)時局部共形平坦流形的Lp拼擠定理，改進和發(fā)展了S．Pig

3、ola，M．Rigoli和A．G．Setti得到的Ln/2拼擠定理，并將有關(guān)結(jié)果推廣到數(shù)量曲率為非零常數(shù)的情形．
　　 第三章刻畫了球面中Clifford超曲面的幾何特征．J．Simons[Si]，H．Law—son[La]，陳省身，M．do Carmo和S．Kobayashi[CDK]證明了球面中閉極小子流形的剛性定理．據(jù)此，陳省身先生提出了關(guān)于常數(shù)量曲率極小超曲面的陳氏猜想．彭家貴，滕楚蓮[PT1]，S．P．Chang[Ch

4、a1]，楊洪蒼，成慶明[YC1][YC2]，Y．J．Suh，H．Y．Yang[SY]等先后研究了陳氏猜想．彭家貴和滕楚蓮[PT2]進一步證明了關(guān)于球面中n維(n≤5)極小超曲面數(shù)量曲率的第二拼擠區(qū)間的存在性定理．最近，魏嗣明和許洪偉[WX]將彭家貴和滕楚蓮[PT2]的結(jié)果推廣到維數(shù)n=6，7的情形．在第三章中，我們研究了球面中一類閉的常平均曲率超曲面數(shù)量曲率的第二拼擠區(qū)間存在性問題，推廣了彭家貴、滕楚蓮、魏嗣明和許洪偉的數(shù)量曲率第二拼擠

5、區(qū)間的存在性定理．
　　 第四章給出了4維雙曲空間中超曲面的幾何分類．彭家貴和滕楚蓮[PT1][PT2]曾研究了4維單位球面中閉極小超曲面的幾何．SAlmeida，F(xiàn)．Brito，L．Sousa[AB][ABS]，J．Ramanathan[Ra]等給出了4維單位球面中常Gauss—Kronecker曲率閉超曲面的幾何分類．T．Hasanis，A．Savas—Halilaj，T．Vlachos[HSV1][HSV2]和成慶明[CH

6、2]等研究了4維歐氏空間和雙曲空間中完備極小超曲面的分類問題．在第四章中，我們給出了4維雙曲空間中一類具有常quasi—Gauss—Kronecker曲率和常平均曲率的完備超曲面的幾何分類，推廣了T．Hasanis，A．Savas—Halilaj，T．Vlachos和成慶明等人的結(jié)果．
　　 第五章證明了子流形拓撲球面定理和微分球面定理．運用球面中緊致子流形上穩(wěn)定流的不存在性和廣義Poincaré猜想，H．Lawson和J．Si

7、mons[LS]證明了子流形的拓撲球面定理．K．Shiohama和許洪偉[SX3]證明的拓撲球面定理推廣和改進了H．Lawson和J．Simons的結(jié)果．最近，付海平和許洪偉[FX]將拓撲球面定理推廣到外圍空間為雙曲空間形式的情形．通過研究平均曲率流，G．Huisken[Hu1][Hu2][Hu3]得到了超曲面的微分球面定理．在第五章中，通過研究子流形的迷向曲率，我們證明了一般黎曼流形中子流形的拓撲球面定理，將常曲率空間形式中子流形的拓

8、撲球面定理推廣到外圍空間為一般黎曼流形的情形．運用Brendle—Schoen的Ricci流技巧，我們首次證明了曲率拼擠條件下子流形的微分球面定理．我們得到的部分球面定理的拼擠條件是最佳的．
　　 第六章研究了歐氏空間中閉超曲面的平均曲率流．G．Huisken[Hu1]曾證明歐氏空間中的凸超曲面必在有限時間內(nèi)沿平均曲流方向收縮到一點，并獲得了超曲面平均曲率流關(guān)于時間延拓的一個充分條件．最近，N．Sesum[Se]和B．Wang[