量子隨機(jī)行走的基本性質(zhì)及應(yīng)用研究.pdf

1、量子隨機(jī)行走作為經(jīng)典隨機(jī)行走的量子推廣，自1993年被提出后，就受到廣泛的關(guān)注，近年來，吸引了許多數(shù)學(xué)家，計(jì)算機(jī)科學(xué)家，物理學(xué)家及工程師等的注意。量子隨機(jī)行走已經(jīng)成為量子算法的一個(gè)重要工具，一系列基于量子隨機(jī)行走的量子算法被提出，其中一些到達(dá)問題相對(duì)于經(jīng)典算法具有指數(shù)加速，搜索問題也達(dá)到了O(√N(yùn))這一最佳效率，且量子隨機(jī)行走已被證明可以用于普適量子計(jì)算。為了更好的發(fā)揮量子隨機(jī)行走的潛力，我們需要對(duì)量子隨機(jī)行走的各種基本性質(zhì)有更深的了解

2、，包括方差，熵，到達(dá)時(shí)間，混合時(shí)間，平均位置等有更精確的結(jié)果，還有更多情形下量子隨機(jī)行走需要得到研究。
　　 本文主要研究量子隨機(jī)行走的一些基本性質(zhì)及應(yīng)用，包括:
　　 1.介紹量子隨機(jī)行走的的定義，及量子隨機(jī)行走和經(jīng)典隨機(jī)行走的區(qū)別。介紹了兩種研究一維量子隨機(jī)行走的方法:Fourier變換方法和排列組合方法，還有利用3變量幺正算符Uξ，θζ作為硬幣，來控制離散量子隨機(jī)行走的演化，最后還介紹了基于量子隨機(jī)行走的一些量子算

3、法和普適量子計(jì)算的方案，以及多粒子糾纏在量子隨機(jī)行走中的表現(xiàn)。
　　 2.研究使用任意幺正算符作為硬幣的離散量子隨機(jī)行走，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)初始態(tài)為平衡態(tài)1/√2(|(0)L〉+i|(0)R〉時(shí)，其平均位置滿足〈x〉=max(〈x〉)sin(α+γ)，我們嚴(yán)格證明平均位置滿足〈x〉=G(β，t)sin(α+γ)，其中G(β，t)與α和γ無關(guān)，還得到以U(2)為硬幣算符，而初始態(tài)為|(0)L〉和|(0)R〉的量子隨機(jī)行走之間具有反對(duì)稱性質(zhì)

4、。
　　 3.我們討論處于周期勢(shì)場(chǎng)下的離散量子隨機(jī)行走。存在周期勢(shì)場(chǎng)情況下的隨機(jī)行走的概率分布比一般的量子隨機(jī)行走復(fù)雜許多，且其標(biāo)準(zhǔn)差σ關(guān)于周期勢(shì)場(chǎng)周期q和參數(shù)θ的變化具有很有趣的性質(zhì)。我們研究標(biāo)準(zhǔn)差σ與行走步數(shù)、周期q、和θ的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)當(dāng)θ∈(0，π/4)標(biāo)準(zhǔn)差σ隨θ近似線性增加，而隨1/q近似線性減小;而當(dāng)θ∈[π/4，π/2)，隨1/q近似線性增加。且當(dāng)θ∈(π/4，π/2)，這時(shí)透射大于反射，且越來越大，感覺此時(shí)擴(kuò)散應(yīng)該

5、加速，而當(dāng)θ∈(π/2，3π/4)透射幾率變小，反射變大，感覺擴(kuò)散應(yīng)該減緩，但是當(dāng)θ∈(π/4，3π/4)時(shí)，而q=2時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差保持幾乎不變，而q＞2時(shí)，方差卻減小，與直覺不同。
　　 4.我們首先介紹Parrondo悖論，其中有經(jīng)典Parrondo博弈及對(duì)應(yīng)的量子Parrondo博弈游戲，最后將使用量子隨機(jī)行走來構(gòu)造量子Par-rondo博弈游戲，兩個(gè)輸?shù)牟┺木痛韮刹煌矌潘惴鸘A(αA，βA，γA)和UB(αB，βB，γB

6、)，交替使用兩算符，我們可以得到贏的結(jié)果。這里我們選擇根據(jù)位置來交替而不是根據(jù)時(shí)間變化。以ABB，ABBB等方式交替，有一系列的參數(shù)，我們都可以得到Parrondo悖論。如果我們令βA=45°，γA=0，αB=0，βB=88°，我們得到游戲1:USA=US(-51°，45°，0)，Us=Us(0，88°，-16°)和游戲2:USA=US(0，45°，-51°)，USB=US(0，88°，-67°)，都可以得到最價(jià)收益，且游戲1和游戲2在